Теоретическая механика. Часть II. Динамика. Аналитическая механика. Манжосов В.К - 100 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

100
Таким образом,

hrU
mrJ
p
m
p
cz
r
2
2
2
2
1
,
или

1
2
2
2
22 hmhrmUp
mrJ
m
p
cz
r
.
Свойства интеграла канонических уравнений динамики. Примеры
интегрирования канонических уравнений в случае циклических координат
Если движение механической системы с s степенями свободы определяется 2s
каноническими уравнениями Гамильтона
j
j
p
H
dt
dq
;
),...,,2,1( sj
q
H
dt
dp
j
j
то задача интегрирования этой системы уравнений сводится к нахождению канонических
переменных q
1
, q
2
, …, q
s
, p
1
, p
2
, …, p
s
в функции времени t и 2s произвольных постоянных.
Предположим, что интегралом канонической системы дифференциальных уравнений
является функция вида
f = f(q
1
, q
2
, …, q
s
, p
1
, p
2
, …, p
s
, t),
т. е. такая функция, которая остается постоянной при всех значениях q
j
и p
j
,
удовлетворяющих уравнениям Гамильтона.
Обобщенные координаты, которые не входят явно в функцию Лагранжа L, называются
циклическими координатами.
Обобщенные координаты следует выбирать так, чтобы возможно большее их число
было циклическим, или находить такое преобразование канонических переменных q
j
и р
j
,
при котором уравнения сохранят форму уравнений Гамильтона, но возможно большее число
координат станет циклическим.
Так, например, при изучении движения материальной точки под действием
центральной силы целесообразно выбирать в качестве обобщенных координат не декартовы
координаты, а полярные координаты, так как одна из полярных координат – угол φ – будет
циклической координатой.
Пример 1. Составить канонические уравнения движения материальной точки М с
массой m под действием центральной силы притяжения к центру О, равной
Р = km/r
2
, где r = ОМ.
Решение. Под действием центральной силы материальная точка движется в плоскости,
проходящей через центр О. Выберем за обобщенные координаты полярные координаты r и
φ, приняв за начало отсчета r центр О:
rv
r
и
rv
.
Кинетическая энергия точки
222
2
1
rrmT
.
Потенциальная энергия точки
П = –km/r.

Страницы