ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
98
Решение. Свободная материальная точка имеет три степени свободы. Примем за
обобщенные координаты точки три ее декартовы координаты: х, у, z.
Каноническая энергия точки определится выражением
222
2
1
zyxmT
,
а силовая функция
U = U(x, у, z) = –П.
Функция Лагранжа имеет следующий вид:
zyxUzyxmUTL ,,
2
1
222
.
Найдем обобщенные импульсы:
xm
x
L
p
1
, ym
y
L
p
2
, zm
z
L
p
3
.
Отсюда
mpx
1
, mpy
2
, mpz
3
.
Выражаем функцию Гамильтона в канонических переменных:
zyxUpppmUTH ,,
2
1
2
3
2
2
2
1
.
Канонические уравнения движения точки имеют следующий вид:
m
p
p
H
dt
dx
1
1
,
x
U
x
H
dt
dp
1
,
m
p
p
H
dt
dy
2
2
,
y
U
y
H
dt
dp
2
,
m
p
p
H
dt
dz
3
3
,
z
U
z
H
dt
dp
3
.
Дифференциальные уравнения движения материальной точки в декартовых
координатах получаются из этих уравнений следующим путем. Из первых трех уравнений
имеем
dt
dx
mp
1
,
dt
dy
mp
2
,
dt
dz
mp
3
.
Подставим эти значения p
1
, p
2
, p
3
в три последних уравнения:
x
U
dt
xd
m
2
2
,
y
U
dt
yd
m
2
2
,
z
U
dt
zd
m
2
2
.
Эти уравнения и представляют собой дифференциальные уравнения движения
свободной материальной точки в декартовых координатах в консервативном поле.
Пример 2. Горизонтальный диск вращается вокруг вертикальной оси, проходящей
через центр диска. Вдоль желоба, ось которого совпадает с диаметром диска, движется
шарик массой m. К шарику приложена сила, направленная вдоль желоба и являющаяся
функцией расстояния r от шарика до оси вращения (рис. 2.23).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 96
- 97
- 98
- 99
- 100
- …
- следующая ›
- последняя »
