Теоретическая механика. Часть II. Динамика. Аналитическая механика. Манжосов В.К - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

99
Определить функцию Гамильтона и составить кано-
нические уравнения движения шарика, рассматривая его как
материальную точку.
Решение. Рассматриваемая механическая система имеет
две степени свободы. Выберем за обобщенные координаты
системы угол поворота диска φ и расстояние шарика от оси
вращения r. Положим, что момент инерции диска относительно
оси вращения равен J
cz
, а силовая функция – U(r).
Кинетическая энергия рассматриваемой системы опреде-
ляется как сумма кинетических энергий диска и материальной
точки:
22
2
1
2
1
mvJT
cz
.
Так как составляющие скорости точки, выраженные в полярных координатах,
определяются по формулам
rv
r
и
rv
, то
222
rrv .
Поэтому

2222
2
1
2
1
rrmJT
cz
, или
222
2
1
mrJrmT
cz
.
Находим выражение функции Лагранжа:

rUmrJrmUTL
cz
222
2
1
.
Вычислим обобщенные импульсы:
rm
r
L
p
r
,
2
mrJ
L
p
cz
.
Отсюда
m
p
r
r
и
2
mrJ
p
cz
.
Подставим в функцию Гамильтона Н канонические переменные:

rU
mrJ
p
m
p
UTH
cz
r
2
2
2
2
1
.
Канонические уравнения имеют следующий вид:
m
p
p
H
dt
dr
r
r
,


r
rU
mrJ
mrp
r
H
dt
dp
cz
r
2
2
2
,
2
mrJ
p
p
H
dt
d
cz
, 0
H
dt
dp
.
Так как наложенные на систему связи стационарны, то функция Гамильтона не зависит
явно от времени t. Поэтому Н = Т – U= h = const.
Рис. 2.23

Страницы