ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
103
Это тождество называется
тождеством Якоби – Пуассона.
Теорема Пуассона: если известны два интеграла системы канонических уравнений
динамики
φ (q
1
, q
2
, …, q
s
, p
1
, p
2
, …, p
s
, t) = a;
ψ (q
1
, q
2
, …, q
s
, p
1
, p
2
, …, p
s
, t) = b,
то функция (φ, ψ) является также одним из интегралов канонических уравнений.
Основываясь на теореме Пуассона, можно было бы считать, что по двум известным
первым интегралам канонических уравнений можно последовательно найти все 2
s первых
интегралов этих уравнений. В действительности найти общее решение системы
канонических уравнений с помощью этой теоремы не всегда удается.
Причиной этого является то, что скобки Пуассона от двух интегралов могут дать один
из первых интегралов, найденных уже ранее, или они могут оказаться тождественно
равными нулю.
Метод Остроградского–Якоби. Применение метода Остроградского–Якоби
в случае, когда функция Гамильтона Н явно от времени не зависит.
Примеры применения метода Остроградского–Якоби
Метод Остроградского–Якоби позволяет свести задачу об отыскании 2s первых
интегралов дифференциальных уравнений канонической системы к задаче определения
полного интеграла некоторого уравнения в частных производных первого порядка.
Заменим в выражении функции Гамильтона
H все обобщенные импульсы p
1
, р
2
, ..., р
s
частными производными первого порядка от некоторой неизвестной функции
S и составим
уравнение в частных производных следующего вида:
0,...,,,,...,,,
21
21
s
s
q
S
q
S
q
S
qqqtH
t
S
.
Это уравнение называется уравнением Остроградского–Якоби.
Уравнение представляет собой линейное дифференциальное уравнение в частных
производных первого порядка относительно неизвестной функции
S, зависящей от s + 1
переменных
t, q
l
, q
2
, ..., q
s
.
Неизвестная функция
S, удовлетворяющая уравнению Остроградского–Якоби,
называется
производящей функцией.
Так как функция
S явно не входит в уравнение, то общий интеграл этого уравнения
имеет вид
12121
*
,...,,,,...,,,
sss
qqqtSS
,
где S
*
– полный интеграл уравнения Остроградского–Якоби.
Постоянная
α
s+1
является аддитивной, т. е. входит в общий интеграл в качестве
слагаемого.
Теорема Остроградского–Якоби, на которой основывается предложенный ими метод,
формулируется так: если известен полный интеграл уравнения Остроградского–Якоби, то 2
s
независимых интегралов канонической системы уравнений имеют следующий вид:
k
k
S
*
(k = 1, 2, …, s);
k
k
p
q
S
*
(k = 1, 2, …, s).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 101
- 102
- 103
- 104
- 105
- …
- следующая ›
- последняя »
