ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
105
Интегралы служат для определения импульса, а также постоянных интегрирования.
0
**
t
h
W
t
h
S
или
0
*
tt
h
W
,
где t
0
– произвольная постоянная, которую можно принять в качестве начала отсчета
времени.
Интеграл, содержащий время, называется
кинетическим и определяет движение
изображающей точки по траектории.
Пример 1. Свободная материальная точка массой m движется по прямой линии под
действием силы притяжения к центру
О, расположенному на этой прямой. Сила притяжения
пропорциональна расстоянию от точки до этого центра.
Найти канонические уравнения движения материальной точки и уравнение ее
движения, применив метод интегрирования Остроградского–Якоби.
Решение. Свободная материальная точка, движущаяся по прямой, имеет одну степень
свободы. Примем эту прямую за ось координат
Oq, поместив начало координат в центре
притяжения. Тогда расстояние от точки притяжения
q будет ее обобщенной координатой.
Так как сила притяжения пропорциональна расстоянию
q от точки до центра
притяжения, а коэффициент пропорциональности равен
с, то потенциальная энергия
материальной точки
2
2
cq
cqdqП
.
Кинетическая энергия материальной точки
2
2
qm
T
.
Вычислим функцию Лагранжа:
22
22
cqqm
ПTL
.
Находим обобщенный импульс:
qm
q
L
p
, откуда
m
p
q
.
Функция Гамильтона, выраженная в канонических переменных, имеет вид
h
cq
m
p
ПTH
22
22
.
Находим канонические уравнения движения точки:
m
p
p
H
dt
dq
,
cq
q
H
dt
dp
.
Как видно, функция Н не зависит явно от времени. Составим уравнение для
определения характеристической функции
W.
Имеем
.
22
1
2
2
h
cq
q
W
m
Тогда
2
2 mcqmh
q
W
и
.2
2*
dqmcqmhW
Полный интеграл будет иметь следующий вид:
.2
2*
dqmcqmhhtS
Из интегралов канонических уравнений движения находим выражение для импульса:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 103
- 104
- 105
- 106
- 107
- …
- следующая ›
- последняя »
