ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
107
Для определения характеристической функции W применим уравнение в виде
.0
1
2
1
2
2
2
rU
W
r
r
W
h
В это уравнение угол φ явно не входит, а потому полный интеграл уравнения будем
искать в виде
rfW
*
.
Необходимо, чтобы функция f(r) удовлетворяла дифференциальному уравнению
.0
2
1
2
2
2
rU
r
r
f
h
Отсюда
dr
r
hUrf
2
2
2
.
Тогда полный интеграл уравнения Остроградского–Якоби имеет вид
.2
22*
drrhUW
Уравнения движения материальной точки будут следующими:
222
*
2 rhUr
drW
;
0
22
*
2
tt
rhU
dr
h
W
.
Первое уравнение определяет траекторию, а второе – время, необходимое для
достижения точкой заданного положения на этой траектории.
Пример 3. Материальная точка массой m движется в однородном поле силы тяжести.
Найти методом Остроградского–Якоби траекторию точки и уравнение ее движения.
Решение. Выберем за обобщенные координаты материальной точки ее декартовы
координаты
х, у, z. Ось z направим вертикально вверх. Тогда выражения кинетической
энергии точки, ее потенциальной энергии и кинетического потенциала будут следующими:
222
2
1
zyxmT
; mgzП
;
mgzzyxmПTL
222
2
1
.
Находим выражения для обобщенных импульсов:
xm
x
L
p
x
,
ym
y
L
p
y
,
zm
z
L
p
z
,
откуда
m
p
x
x
,
m
p
y
y
,
m
p
z
z
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 105
- 106
- 107
- 108
- 109
- …
- следующая ›
- последняя »
