Теоретическая механика. Часть II. Динамика. Аналитическая механика. Манжосов В.К - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

108
Функция Гамильтона получает следующий вид:
hmgzpppmПTH
zyx
222
2
1
.
Для определения характеристической функции W заменим в этом выражении
обобщенные импульсы частными производными от характеристической функции по
соответствующим координатам и получим следующее уравнение Остроградского–Якоби:
mhgzm
z
W
y
W
x
W
22
2
2
2
2
.
Так как координаты х и у не входят явно в выражение функции Н, то они являются
циклическими координатами. Поэтому положим, что
W* = αx +βy + f(z).
Вычислим частные производные от W и подставим их в уравнение:
mhgzmzf 22
2
2
22
.
Из этого уравнения находим
gzmmh
z
f
222
22
.
Интегрируем это уравнение с точностью до аддитивной постоянной:

3
222
2
22
3
1
,,, gzmmh
gm
hzf
.
Тогда характеристическая функция примет вид
ChzfyxW
,,,
.
Получаем следующие интегралы движения материальной точки:
d
f
x
W
*
; b
f
y
W
*
;
0
*
tt
h
f
h
W
.
В явном виде эти уравнения будут следующими:
dhzFgmx ,,,
2
,
ehzFgmy ,,,
2
,

0
,,,1 tthzFmg
,
где

gzmmhhzF
222
22,,,
.
Первые два интеграла в этой системе геометрические, представляющие собой
уравнения цилиндрических поверхностей, пересечение которых представляет собой
траекторию точки.
Уравнение этой траектории таково:

bydx
.
Эти уравнения показывают, что траектория точки находится в плоскости, параллельной оси z.

Страницы