Теоретическая механика. Часть II. Динамика. Аналитическая механика. Манжосов В.К - 104 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

104
Соотношения показывают, что интегралы канонической системы уравнений
получаются дифференцированием полного интеграла по обобщенным координатам и
произвольным постоянным.
Из теоремы Остроградского–Якоби следует, что в том случае, если известен полный
интеграл уравнения Остроградского–Якоби, переменные
q
j
и p
j
определяются как функции
времени
t и 2s произвольных постоянных α
1
, α
2
, …, α
s
, β
1
, β
2
, …, β
s
из уравнений,
представляющих собой по отношению к
q
j
и p
j
систему алгебраических уравнений.
В случае, если функция Гамильтона
Н явно от времени не зависит, уравнение
Остроградского–Якоби имеет вид
.0,...,,,,...,,
21
21
s
s
q
S
q
S
q
S
qqqH
t
S
Так как время t не входит явно в это уравнение, то число независимых переменных в
этом случае уменьшается на единицу, т. е. равно 2
s.
Полагая, что
htqqqWS
s
,...,,
21
*
,
где W – новая неизвестная функция, называемая характеристической функцией, зависящая
только от обобщенных координат
q
1
, q
2
, ..., q
s
, a h – постоянная. Тогда
h
t
S
,
kk
k
q
W
q
S
p
(k = 1, 2, …, s).
Получаем уравнение Остроградского–Якоби для определения W, не содержащее
времени
t:
.,...,,,,...,,
21
21
ПTh
q
W
q
W
q
W
qqqH
s
s
Общий интеграл зависит от s + 1 постоянных α
1
, α
2
, …, α
s
, h, одна из которых α
s
входит
как аддитивная постоянная, так как функция
W не входит явно в уравнение. Из этого
следует, что функция
W определяется с точностью до аддитивной постоянной.
Таким образом, общий интеграл уравнения имеет вид

.,,,...,,,,...,,
1
2121
*
sss
hqqqWW
Тогда
.,,...,,,,...,,
12121
*
sss
hqqqWhtS
Теперь на основании теоремы Остроградского–Якоби, пользуясь формулами, можно
составить полную систему независимых интегралов канонических уравнений движения:
k
kk
WS
**
(k = 1, 2, …, s–1).
Интегралы не содержат в явном виде времени
t и называются геометрическими. Эти
уравнения в многомерном пространстве обобщенных координат определяют кривую –
траекторию изображающей точки.
k
kk
p
q
W
q
S
**
(k = 1, 2, …, s).

Страницы