ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
115
или в развернутой форме
0,,...,,,,...,,
2
1
2121
t
t
ss
dttqqqqqqLS
.
Поэтому принцип Гамильтона–Остроградского может быть сформулирован еще так:
действительное движение консервативной механической системы таково, что вариация
интеграла S при фиксированных значениях t
1
и t
2
равна нулю, или действительное движение
консервативной системы в промежутке от t
1
до t
2
таково, что действие по Гамильтону имеет
стационарное значение.
.
2
1
t
t
LdtS
Равенство 0S
является необходимым условием экстремума действия S. Из этого
следует, что из всех возможных движений изображающей точки от ее положения в момент t
1
до ее положения в момент t
2
действительным является то движение, при котором интеграл
имеет экстремум: максимум или минимум, или стационарное значение, отличное от
экстремума.
Дифференциальное уравнение кривой, реализующей экстремум
заданного криволинейного интеграла
Применение принципа Гамильтона–Остроградского к установлению действительного
движения механической системы в промежутке времени от t
1
до t
2
связано с определением
экстремума криволинейного интеграла:
2
1
t
t
LdtS .
Найдем такую кривую у = у(х), которая на участке
21
xxx
реализует экстремум
криволинейного интеграла:
2
1
,,
x
x
dxxyyfJ ,
где у' = dy/dx, а переменная х играет роль параметра t.
Для того чтобы использовать обычный аппарат дифференциального исчисления,
рассмотрим однопараметрическое семейство кривых у(х), для которых y(x
1
) = y
1
и у(х
2
) = у
2
(рис. 2.27), а их уравнение имеет вид
у(х,α) = у(х, 0) + αη(x),
где η(х) – функция, обращающаяся в нуль при х = х
1
и х = х
2
.
Каждой кривой рассматриваемого семейства соответс-
твует определенное значение параметра α, а значению α = 0
будут соответствовать кривые, реализующие экстремум
рассматриваемого интеграла.
Подставив значение у(х, α), получим следующий инте-
грал, являющийся функцией α:
2
1
),,(,,)(
x
x
dxxxyxyfJ
.
Рис. 2.27
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 113
- 114
- 115
- 116
- 117
- …
- следующая ›
- последняя »
