ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
117
Из этого следует, что экстремум интеграла будет только для таких кривых у(х), которые
удовлетворяют дифференциальному уравнению, называемому уравнением Эйлера (оно было
опубликовано впервые в 1744 г.). Уравнение Эйлера при х = t и f = L совпадает с уравнением
Лагранжа второго рода для консервативной системы с одной степенью свободы.
Интегральные кривые
уравнения Эйлера у = у(х, С
1
, С
2
) называются экстремалями.
Только на экстремалях может достигаться экстремум интеграла.
.,,
2
1
x
x
dxxyyfJ
Постоянные, входящие в общее решение дифференциального уравнения, определяются
из условий на концах
11
)( yxy
, .)(
22
yxy
Вывод уравнения Лагранжа второго рода
из принципа Гамильтона–Остроградского
Уравнения Лагранжа второго рода могут быть получены из уравнений Эйлера и
непосредственно на основе уравнения, выражающего принцип Гамильтона–Остроградского.
Так как
,0
2
1
t
t
dtAT
а ,...
2211 ss
qQqQqQA
то получаем
.0...
2
1
2211
t
t
ss
dtqQqQqQT
Вариация кинетической энергии δT в каждый момент времени t определяется
выражением:
.
1
s
i
j
j
j
j
q
q
T
q
q
T
T
Подставим это выражение δT в уравнение, выражающее принцип Гамильтона–
Остроградского:
.0
2
1
1
t
t
j
jjj
j
j
j
dtqQq
q
T
q
q
T
Преобразуем члены с интегрированием по частям, учитывая, что
.
:
2
1
2
1
2
1
2
1
t
t
j
j
t
t
t
t
j
j
j
j
t
t
jj
j
dtq
q
T
dt
d
q
q
T
qd
q
T
dtq
q
T
dt
qd
dt
dq
q
Но
2
1
t
t
j
j
q
q
T
= 0, так как на границах интервала интегрирования интеграла δq
j
= 0.
Сделаем такое преобразование со всеми членами, содержащими
q
:
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 115
- 116
- 117
- 118
- 119
- …
- следующая ›
- последняя »
