ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
116
Необходимое условие экстремума этого интеграла таково:
.0
0
J
Производим дифференцирование под знаком интеграла:
.
2
1
x
x
dx
y
y
fy
y
fJ
Второй интеграл правой части можно представить в следующем виде:
.
2
1
2
1
2
x
x
x
x
dx
x
y
y
f
dx
y
y
f
Вычислим этот интеграл посредством интегрирования по частям:
.
2
1
2
1
2
1
2
x
x
x
x
x
x
dx
y
y
f
dx
dy
y
f
dx
x
y
y
f
Так как все кривые семейства у = у (х, α) проходят через точки (x
1
, y
1)
и (х
2
, у
2
), то имеем
0
1
xx
y
и .0
2
xx
y
Поэтому
.
2
1
x
x
dx
y
y
f
dx
d
y
fJ
Для определения кривой, реализующей экстремум интеграла, умножим полученное
равенство на dα и положим α = 0:
.
2
1
00
x
x
dxd
y
y
f
dx
d
y
f
d
J
В этом равенстве содержатся вариации следующих функций:
Jd
J
0
, ,
0
yd
y
где δy – произвольная вариация функции у(х), получающаяся посредством варьирования
произвольного параметра α около значения α = 0.
Подставим обозначения вариаций:
0
2
1
x
x
ydx
y
f
dx
d
y
f
J
.
Так как δу является произвольной функцией х, то равенство может иметь место лишь в
том случае, если
.0
y
f
dx
d
y
f
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 114
- 115
- 116
- 117
- 118
- …
- следующая ›
- последняя »
