ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
120
Из этого следует, что для действительного движения действие по Лагранжу имеет
стационарное значение.
Действие по Лагранжу
dtvmTdtW
i
t
n
i
i
t
2
0
1
0
2
W - всегда положительная функция, ограниченная только снизу.
Так как при применении принципа Мопертюи–Лагранжа при переходе от одного пути к
другому варьируются не только координаты и скорости точек системы, но и время, то в этом
случае рассматривается полная вариация функции Δ
W.
Следует особо отметить, что при полной вариации время
t варьируется и на концах
траекторий механической системы в пространстве конфигураций (т. е. Δt ≠ 0 при
t = t
A
и
t = t
B
), но полные вариации обобщенных координат в конечных точках пучка траекторий
равны нулю.
Для установления принципа стационарного действия использованы уравнения
Лагранжа второго рода. Если же исходить из принципа стационарного действия, то на его
основе можно установить все основные теоремы механики консервативных систем и
получить дифференциальные уравнения движения в форме уравнений Лагранжа
второго
рода. Установим зависимость между действием по Гамильтону
S и действием по
Лагранжу
W.
Возьмем выражение действия по Гамильтону для голономной консервативной системы
между двумя конфигурациями
A и В и положим, что конфигурация А соответствует моменту
t = 0, а конфигурация В – моменту t, который при движении по возможным траекториям с
постоянной энергией будет переменной величиной.
Тогда
.
00
dtUTLdtS
tt
Так как система консервативна, то Т = U + h.
Поэтому htTdtS
t
0
2 .
Так как Т + П = h = const, то S = W – ht.
Эта формула устанавливает зависимость между действием по Лагранжу
W и действием
по Гамильтону
S.
Сопоставим теперь принцип Мопертюи–Лагранжа с принципом Гамильтона–
Остроградского. В принципе Мопертюи–Лагранжа сравниваются движения консервативной
системы, совершаемые с одной и той же энергией, тогда как в принципе Гамильтона–
Остроградского сравниваются движения, совершаемые за один и тот же промежуток
времени.
Состояние покоя механической системы может быть устойчивым, неустойчивым и
безразличным.
Состояние покоя механической системы называется устойчивым, если эта
система, выведенная из положения покоя, будет совершать колебания около этого
положения.
Состояние покоя механической системы называется
неустойчивым, если при сколь
угодно малом отклонении системы из положения покоя она удаляется от этого положения, и
колебаний около этого положения не возникает.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 118
- 119
- 120
- 121
- 122
- …
- следующая ›
- последняя »
