Теоретическая механика. Часть II. Динамика. Аналитическая механика. Манжосов В.К - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

30
Решение. Примем начальное положение точки за начало координат (рис. 1.5).
Направим ось х вдоль начальной скорости точки v
0
, а ось у – параллельно линии действия
силы P
.
Тогда начальные условия движения будут следующими:
t =0; х
0
= 0; у
0
= 0;
0
x
= v
Q
= 10 см/с;
0
y
= 0.
Единственной силой, действующей на точку в горизонтальной плоскости, является
заданная сила
P
, параллельная оси у.
Составим два дифференциальных уравнения движения точки:
.;0 PYyтХxт
ii
Из первого дифференциального уравнения
x
= 0.
Проинтегрировав это уравнение дважды по t, получим:
x
= C
1
; x=C
1
t+C
2
.
Подставив в первое уравнение проекцию начальной скорости x
= 10 см/с, получим
С
1
= 10.
Подставив во второе уравнение t = 0, х
о
= 0, получим С
2
= 0.
При этих значениях С
1
и С
2
для движения точки вдоль оси х:
x
= 10 см/с; х=10t (см).
Получим второе дифференциальное уравнение, выражая массу точки в граммах, а силу
Р в динах:
y
= 100cos(5t).
Проинтегрировав его дважды по t, получим:
y
= 20sin(5t); y = –4cos(5t) + C
3
t + C
4
.
Подставив в первое уравнение t = 0, у
о
= 0, найдем С
3
= 0.
Подставив во второе уравнение t = 0, у
о
= 0, получим: 0 = –4 + С
4
, откуда С
4
= 4.
При найденных значениях С
3
и С
4
для движения точки вдоль оси у
y
= 20sin(5t) (см/с),
у = 4(1 – cos5t) (см).
Чтобы получить уравнение траектории точки, исключим время из уравнений ее
движения:
t = x/10; y = 4(1 – cos(x/2)).
Пример интегрирования дифференциального уравнения движения точки
для случая силы, зависящей от положения точки
Пример. Материальная точка М массой т = 20 г отталкивается от некоторого центра О
c силой, обратно пропорциональной кубу расстояния ОМ. В начальный момент известны:
расстояние ОМ = 5 см, скорость точки v
0
= 10 см/с, направленная по прямой ОМ от центра О,
и сила отталкивания P = 0,4 мH.
Получить уравнение движения точки под действием силы отталкивания, а также
определить скорость, приобретенную точкой на расстоянии 20 см от центра О.
Решение. Центр отталкивания О примем за начало координат, ось х направим по
прямой, соединяющей этот центр с движущейся точкой М.
Установим начальные условия:
t = 0, x
0
=OM
0
=5 см; x
0
= v
0
= 10 см/с.
На точку действует сила отталкивания
P
, направленная по оси х. Модуль этой силы
обратно пропорционален кубу расстояния ОМ, т. е. P = k/x
3
.

Страницы