ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
31
Значение коэффициента k можно определить по условию, что при x
0
= 5 см сила
отталкивания Р
0
= 0,4 мH = 40 дин:
k = 5000 г·см
4
/с
2
.
Составим дифференциальное уравнение движения точки М:
m x
=ΣX
i
=P = k/x
3
;
Преобразовав и разделив переменные, получим: mv·dv=(k/x
3
)·dx.
При интегрировании уравнения воспользуемся определенными интегралами с
переменным верхним пределом. При изменении скорости от v
0
до v координата точки
изменяется от х
0
до х. Тогда, преобразовав, получим:
mv
2
/2 – mv
0
2
/2 = k/2(1/x
0
2
– 1/x
2
).
Подставив числовые значения k, m, v
0
, получим
v = (110 – 250/x
2
)
1/2
.
Полученное выражение определяет скорость v точки в зависимости от ее координаты х.
Из этого уравнения можно найти искомое значение скорости при х = 20 см:
v = (10,46)
1/2
см/с.
Заменим v = dx/dt и, разделив переменные, проинтегрируем левую часть в пределах
от x
о
= 5 до x, а правую – в пределах от t
0
= 0 до t и, преобразовав, получим:
x
2
– 25/11=250/11 + 100t + 110t
2
.
Отсюда получим уравнение движения точки:
x = (25 + 100t + 110t
2
)
1/2
(см).
1.1.2. Элементы теории колебаний
Виды колебательных движений материальной точки.
Свободные колебания материальной точки
Колебательное движение материальной точки происходит при условии, если на точку
М, отклоненную от положения покоя О, действует сила P
, стремящаяся вернуть точку в это
положение. Такая сила называется восстанавливающей.
Различают четыре основных случая колебательного движения материальной точки:
свободные колебания, совершающиеся под действием только восстанавливающей силы;
затухающие колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы и
силы сопротивления движению;
вынужденные колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы
и силы периодического характера, называемой возмущающей силой;
вынужденные колебания, совершающиеся под действием восстанавливающей силы,
возмущающей силы и силы сопротивления движению.
Изучим свободные колебания материальной точки. Примем прямолинейную
траекторию движения точки М за ось х и поместим начало координат О в положение, в
котором точка М могла бы находиться в покое. Если точка М выведена из состояния покоя,
то на нее по оси х действует только восстанавливающая сила
P
. Если в некоторый момент
времени t точка М имеет координату х, то модуль восстанавливающей силы
Р = с · ОМ = с|х|,
где с – коэффициент жесткости пружины, численно равный силе упругости ее при
деформации, равной единице.
Составим дифференциальное уравнение прямолинейного движения точки М под
действием восстанавливающей силы P
:
m
x
= ΣX
i
=P
x.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 29
- 30
- 31
- 32
- 33
- …
- следующая ›
- последняя »
