Теоретическая механика. Часть II. Динамика. Аналитическая механика. Манжосов В.К - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

33
где k=(c/m)
1/2
[c
-1
].
Период его колебаний
T=1/f=2π/k=2π(m/c)
1/2
Представим уравнение движения груза в форме (1.11):
y= Asin(kt+β).
Амплитуду A и начальную фазу β колебаний определим, пользуясь начальными
условиями:
A=(y
0
2
+(
0
y
/k)
2
)
1/2
,
tg (β)=ky
0
/
0
y
.
Уравнение движения груза (1.11) примет вид
))/sin((
2/1
tmñAy . (1.13)
Формула (1.13) является общей для определения периода свободных колебаний груза,
поддерживаемого упругой связью. Она позволяет определить период свободных колебаний
этого груза около положения, в котором действующие на груз силы уравновешиваются.
Эквивалентная жесткость
При последовательном соединении жесткость эквивалентной пружины можно
определить по формуле
.
21
21
CC
CC
C
При параллельном соединении пружин коэффициент упругости эквивалентной
пружины равен сумме коэффициентов упругости данных пружин:
.
21
CCC
Примеры на свободные колебания
Пример 1. Тело весом G = 20 H, лежащее на гладкой горизонтальной плоскости и
прикрепленное к концу недеформированной пружины, отклоняют из положения покоя
вправо, растягивая пружину на 4 см, и отпускают, сообщая начальную скорость 56 см/с,
направленную влево (удлинение пружины на 1 см вызывается силой 4 H). Определить
дальнейшее движение тела, пренебрегая массой пружины.
Решение. Направим ось х горизонтально вправо, считая началом координат О
положение покоя тела, принятого за материальную точку. Тогда начальные условия будут
следующими:t = 0, х
о
= 4 см,
x
о
= –56 см/с.
В произвольный момент времени t на тело М, имеющее координату х, действуют силы:
сила тяжести G
, реакция плоскости N
и сила упругости деформированной пружины P
,
направленная к точке О.
Составим дифференциальное уравнение движения тела
m
x
= ΣХ
i
= P
x
= –cx.
Решая и преобразовывая его, получим:
x= Asin(kt+β).
Вычислим частоту и период колебаний:
k=(c/m)
1/2
=(cg/G)
1/2
=14 рад/с; T = 2π/k = 0,45 c.
Амплитуду А и начальную фазу β свободных колебаний тела вычислим по начальным
условиям:

Страницы