Теоретическая механика. Часть II. Динамика. Аналитическая механика. Манжосов В.К - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

32
Решая и преобразовывая его, получим: (c/m=k
2
)
x= Asin(kt+β). (1.11)
Уравнение (1.11) является уравнением гармонического колебательного движения точки.
Таким образом, установлено, что свободные колебания материальной точки под
действием линейной восстанавливающей силы являются гармоническими колебаниями.
Амплитуда A и начальная фаза β свободных колебаний материальной точки как
постоянные интегрирования определяются по начальным условиям движения: (x
0
, x
0
, t
0
= 0);
A=(x
0
2
+( x
0
/k)
2
)
1/2
,
tg (β)=kx
0
/ x
0
.
Так как каждому значению тангенса соответствуют два угла в пределах от 0 до 2π, то
необходимо определить еще sin(β)=x
0
/A.
Циклическая частота и период свободных колебаний определятся по формулам:
k = (c/m)
1/2
,
T = 2π/k = 2π(m/c)
1/2
.
как видно, частота и период свободных колебаний точки зависят лишь от массы этой
точки и от коэффициента с, характеризующего
восстанавливающую силу, и не зависят от
начальных условий движения.
Период свободных колебаний Т увеличивается
при увеличении массы точки и уменьшается при
увеличении коэффициента с.
График свободных колебаний показан
на рис. 1.6.
Рис. 1.6
Свободные колебания груза, подвешенного к пружине
Рассмотрим груз весом G, подвешенный к пружине АВ, конец А которой закреплен
неподвижно. Когда груз находится в покое, удлинение пружины равно f
ст
. Положим, что в
некоторый момент времени груз был смещен из положения покоя вниз по вертикали на
величину у
0
и отпущен с начальной скоростью
0
y
.
Определим возникшее движение груза, пренебрегая массой пружины.
Начальные условия будут: t
0
= 0, у = у
0
,
0
yy
. На груз действуют силы: сила тяжести
G
и сила упругости пружины
P
, модуль которой пропорционален деформации пружины.
Дифференциальное уравнение движения груза имеет вид
m y
= ΣY
i
= G – c(f
ст
+ y).
Учитывая, что в положении статического
равновесия G=c f
ст
, получим
y
+сy=0. (1.12)
Уравнение (1.12) является дифференциальным уравнением свободных колебаний
материальной точки.
Круговая частота свободных колебаний груза
,
f
k
2

Страницы