Теоретическая механика. Часть II. Динамика. Аналитическая механика. Манжосов В.К - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

УлГТУ | Ульяновск

Составители: 

Рубрика: 

37
Отвлеченное число e
–nT*/2
называется декрементом затухающих колебаний;
натуральный логарифм декремента, т. е. величина –nT*/2 называется логарифмическим
декрементом:
–nT*/2 = –πn/(k
2
–n
2
)
1/2
.
Коэффициент п называют коэффициентом затухания. Затухание колебаний
происходит очень быстро, даже при малом сопротивлении.
Таким образом, основное влияние сопротивления на свободные колебания материаль-
ной точки выражается в уменьшении амплитуды колебаний с течением времени, т. е. в
затухании колебаний.
Апериодическое движение точки
Движение материальной точки теряет колебательный характер и становится
апериодическим в случае большого сопротивления, т. е. при n≥k или α≥2*(т/с)
1/2
.
а) При n>k корни характеристического уравнения вещественны, отрицательны и раз-
личны. Тогда уравнение примет вид
x=Ae
-nt
sh ((п
2
– k
2
)
1/2
t + β). (1.17)
Уравнение движения точки (1.17) показывает, что рассматриваемое движение точки не
является колебательным, так как гиперболический синус не является периодической
функцией.
б) При n = k корни характеристического уравнения вещественны, равны и отрица-
тельны. Тогда уравнение примет вид
x= e
-nt
[x
0
+(
0
x
+nx
0
)t]. (1.18)
Движение точки, определяемое уравнением (1.18), является также апериодическим.
Вынужденные колебания материальной точки
Вынужденные колебания совершает материальная точка, на которую наряду с
восстанавливающей силой действует периодически изменяющаяся сила, называемая
возмущающей силой.
Практически наиболее важным является случай, когда возмущающая сила
Q
изменяется по гармоническому закону, т. е. проекция ее на ось х, направленную по
траектории точки, определяется
Q
x
= Hsin(pt+δ),
где Н – максимальный модуль, или амплитуда возмущающей силы;
p – частота изменения возмущающей силы, равная числу полных циклов изменения
возмущающей силы за 2π с ;
pt+δ – фаза изменения возмущающей силы;
δ – начальная фаза изменения возмущающей силы.
Период изменения возмущающей силы τ определяется по ее частоте:
τ = 2π/p.
x
+ k
2
х = h sin(pt+δ).
Уравнение (1.19) представляет собой дифференциальное уравнение вынужденных
колебаний материальной точки (здесь c/m = k
2
; H/m = h).
Находим искомое частное решение уравнения:

Страницы