Теории автоматического регулирования. Марченко Ю.Н. - 31 стр.

                                        31


     2. Свойства автоматических систем регулирования

     2.1. Устойчивость САР

      Устойчивость является одним из необходимых условий, обеспечиваю-
щих нормальное функционирование автоматических систем. Термин устой-
чивость настолько выразителен, что говорит сам за себя. Однако точное оп-
ределение устойчивости неэлементарно. «Интуитивное» понятие устойчиво-
сти относится в большей степени к линейным системам. Будем говорить, что
линейная система устойчива, если ее реакция на любое ограниченное воздей-
ствие также ограничена, и неустойчива, если реакция на ограниченные воз-
действия неограниченна.
      Более строгие определения устойчивости будут даны при рассмотрении
нелинейных систем.
      Рассмотрим вопросы исследования устойчивости линейной системы на
примере некоторой САР, описываемой линейным дифференциальным урав-
нением с постоянными коэффициентами:
         dny        d n −1 y              dy
      a0      + a 1          + K + a n −1    + an y =
         dy n       dy n −1               dy
                      d mu      d m −1u              du       .      (20)
                 = b0      + b1         + K + b m −1    + amu
                      du m      du m −1              du
      Требуется исследовать устойчивость САР, иными словами требуется
исследовать устойчивость данного дифференциального уравнения. Самый
простой способ это решение данного уравнения. Решение можно представить
в виде суммы:
       y (t ) = y в (t ) + y св (t ) ,                          (21)
где y в (t ) - частное решение (20) с правой частью (установившееся решение);
y св (t ) - общее решение уравнения (20) с нулевой правой частью. Частное
решение уравнения (20) еще называют вынужденным движением системы, а
общее решение дифференциального уравнения (20) собственным или сво-
бодным движением системы.
     Так как частное решение определяется видом правой части, то устой-
чивость системы будет определяться общим решением y св (t ) соответст-
вующего однородного уравнения:
         dny       d n −1 y              dy
      a0    n
              + a1     n −1
                            + K + a n −1    + an y = 0 .
         dy        dy                    dy
     Таким образом устойчивость есть внутреннее свойство системы, не за-
висящее от внешних воздействий.
     Общее решение однородного уравнения (20) можно записать в виде: