Теории автоматического регулирования. Марченко Ю.Н. - 33 стр.

                                    33
ского уравнения устойчивой системы. Характеристическое уравнение можно
записать в виде:
      a 0 ( p − p1 )( p − p 2 ) K ( p − p n ) = 0 .             (23)
     Если p i = α i - действительный корень, то в силу устойчивости систе-
мы α i < 0 . Тогда в сомножителе p − p i = p − α i в уравнении (23) все ко-
эффициенты положительны. Если p i = α i ± jβ i - комплексный корень и
α i < 0 в силу устойчивости системы, то пара сомножителей
      ( p − p i )( p − p k ) = ( p + α ) 2 + β 2 = 0
также будет иметь положительные коэффициенты. Отсюда следует, что по-
сле раскрытия скобок в (23) и приведения его к виду:
      a 0 p n + a1 p n −1 + K + a n −1 p + a n = 0               (24)
все коэффициенты будут положительны.
      Таким образом если система устойчива, то все коэффициенты характе-
ристического уравнения должны быть строго положительны. Если хотя бы
один коэффициент будет отрицательным или равным нулю, то можно сразу
сказать, что система неустойчива. Таким образом неположительность хотя
бы одного коэффициента характеристического уравнения гарантирует неус-
тойчивость системы, однако обратное, вообще говоря, неверно, то есть по-
ложительность всех коэффициентов уравнения есть необходимое и достаточ-
ное условие лишь для систем первого и второго порядков. Уже для систем
третьего порядка положительность коэффициентов характеристического
уравнения недостаточна для устойчивости системы.
      Для систем выше второго порядка положительность коэффициентов
характеристического уравнения является необходимым, но не достаточным
условием устойчивости. Если все коэффициенты характеристического урав-
нения положительны, то все вещественные корни отрицательные, но среди
комплексных корней могут быть и корни с положительной вещественной ча-
стью.
      Если хотя бы один коэффициент отрицателен, то система заведомо не-
устойчива. При равенстве нулю коэффициента α n система находится на гра-
нице устойчивости. При равенстве нулю любого другого коэффициента сис-
тема находится либо на границе устойчивости, либо неустойчива.
      На практике для упрощения расчетов устойчивость САР определяют с
помощью критериев устойчивости. Критерий устойчивости – это правило,
позволяющее выяснить устойчивость системы без вычисления корней харак-
теристического уравнения. Рассматриваются коэффициенты характеристиче-
ского уравнения или их функции. Критерии устойчивости разделяют на на
алгебраические и частотные. К алгебраическим относят критерии Гурвица,
Льенара-Шипара и Раусса, к частотным – Критерий Михайлова и Найквиста.