Теории автоматического регулирования. Марченко Ю.Н. - 34 стр.

                                            34
     2.3. Алгебраические критерии устойчивости

      Из алгебраических критериев устойчивости чаще используются крите-
рии Гурвица и Раусса. Критерий Гурвица удобен для устойчивости систем
третьего и четвертого порядка, когда известны параметры системы. Кроме
того он позволяет получить аналитическое выражение для исследования
влияния какого – либо параметра на устойчивость системы.
      Критерий Раусса широко используют для определения устойчивости
систем высокого порядка, если известны коэффициенты характеристического
уравнения. Этот критерий удобен для использования на ЭВМ.
      Критерий устойчивости Гурвица. Критерий определяет необходи-
мые и достаточные условия устойчивости системы любого порядка. Крите-
рий формулируется следующим образом. Из коэффициентов характеристиче-
ского уравнения (24) составляется квадратная матрица с n строками и n
столбцами:
       a1    a3     a5    a7    a9    L
       a0    a2     a4    a6    a8    L
       0     a1     a3    a5    a7    L
       0     a0     a2    a4    a6    L .
       0     0      a1    a3    a5    L
       0     0      a0    a2    a4    L
      Правило составления матрицы Гурвица простое – первая строка запол-
няется коэффициентами с нечетными индексами, а вторая – коэффициентами
с четными индексами. Дальнейшие строки отличаются от первой пары сме-
щением вправо на один, два, три и так далее столбца. Все коэффициенты с
индексами, большими степени, заменяются нулями.
      Критерий Гурвица формулируется следующим образом: для того что-
бы система была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы при a 0 > 0
все определители Гурвица, составленные из коэффициентов характеристи-
ческого уравнения замкнутой системы, были бы положительны.
      Т.е. чтобы
                                                     a1   a3   a5
                          a          a3
     Δ 1 = a1 > 0 , Δ 2 = 1             ,      Δ 3 = a0   a2   a 4 ,L ,
                         a0          a2
                                                     0    a1   a3         (25)
     Δ n −1 > 0 ,   Δ n = a n ⋅ Δ n −1 > 0 .
     Условия устойчивости Гурвица остаются справедливыми и для харак-
теристического уравнения, записанного в виде:
     a n p n + a n −1 p n −1 + K + a1 p + a 0 = 0,
поскольку корни этого уравнения будут взаимно обратны корням уравнения
(24), а это не изменяет знака их действительных частей.