Теории автоматического регулирования. Марченко Ю.Н. - 32 стр.

                                                     32
                     n
      y св (t ) =   ∑c g
                    i =1
                           i   i   (t ) ⋅ e pi t ,                   (22)

где c i - произвольные постоянные, определяемые начальными условиями
дифференциального уравнения (20); p i - корни характеристического уравне-
ния; g i - полином от t, степень которого меньше кратности соответствующе-
го корня p i . В общем случае корень p i комплексный: p i = α i ± jβ i и со-
ответствующее ему слагаемое в (22) при отсутствии кратных корней имеет
вид:
      c i g i e pi t = c i e α i t (cos β i t + j sin β i t ) .
                                                          αt
     Отсюда видно, что при α i < 0 c i e i → 0, при t → ∞ . Поэтому для
устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни харак-
теристического уравнения имели отрицательные действительные части.
Это условие соответствует асимптотической устойчивости системы.
     Если корни характеристического уравнения изображать соответствую-
щими точками на комплексной плоскости, то ясно что для устойчивости сис-
темы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического урав-
нения лежали в левой полуплоскости (строго слева от мнимой оси), как это
представлено на рисунке 2.1.
     Таким образом, для того чтобы определить устойчива данная система
                                  или нет, вообще говоря нет необходи-
                                  мости в точности знать действительные
                                  части всех корней и уметь их вычис-
                                  лять. Вполне достаточно располагать
                                  лишь сведениями о знаке действитель-
                                  ных частей этих корней. Далее рассмот-
                                  рим простые критерии, которые по виду
                                  характеристического уравнения позво-
                                  лили бы судить об устойчивости систе-
                                  мы.

  Рисунок 2.1 – Расположение
       корней на комплексной
        плоскости


     2.2. Необходимые условия устойчивости САР

     Можно легко указать необходимый признак устойчивости системы.
Для устойчивости системы необходимо, чтобы все коэффициенты характери-
стического уравнения были положительными. Это условие можно назвать
тривиальным. Действительно, пусть p1 , p 2 , K , p n корни характеристиче-