Теории автоматического регулирования. Марченко Ю.Н. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

37
)sin()(
11
ϑ
ω
+⋅= tAty
.
Величины
1
A
и
1
ϑ
при неизменной амплитуде
0
A
входного сигнала
зависят от частоты
ω
.
Очевидно, что каждой фиксированной частоте входного гармоническо-
го сигнала будет соответствовать свое определенное значение амплитуды и
фазы выходного сигнала.
Пусть система описывается следующим дифференциальным уравнени-
ем:
uaububub
yayayaya
mm
mm
nn
nn
+
′
+++=
=+
′
+++
−
−
−
−
1
)1(
1
)(
0
1
)1(
1
)(
0
K
K
, (26)
а входное воздействие
u
изменяется по гармоническому закону. Для удоб-
ства мы будем его записывать в комплексной форме:
tj
eAtu
ω
⋅=
0
)(
. (27)
Тогда выходная переменная
y
также может быть представлена на
комплексной плоскости в виде:
)]([
1
1
)()(
ωϑω
ω
+
⋅=
tj
eAty
. (28)
Математически это означает, что функция
y
, определенная выраже-
нием (28) есть частное решение неоднородного дифференциального уравне-
ния (26). Это решение соответствует вынужденной составляющей решения
уравнения, полученной под действием вынуждающей правой части. Под-
ставляя (27) и (28) в (26) получим:
tj
m
tjm
tj
n
tj
n
tj
n
eAbeAjbeAa
eAjaeAja
ωω
ωϑω
ωϑωωϑω
ωωωω
ωωωω
)()()()(
)()()()(
00
)(
0
)]([
1
)]([
1
)1(
1
)]([
1
)(
0
1
11
++=+
++
+
+
−
+
KL
K
(29)
Отсюда легко находим:
)(
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
),(
)),(
1
10
1
10
)(
0
)]([
1
1
ω
ω
ω
ωω
ωω
ω
ω
ω
ω
ωϑ
ω
ωϑω
jG
jD
jK
bjbjb
ajaja
eA
eA
eA
tu
ty
m
mm
n
nn
j
tj
tj
==
+++
+++
=
==
⋅
=
−
−
+
K
K
(30)
Здесь входной и выходной сигналы обозначены как функции от частоты.
Функция
)(
ω
jG
называется комплексной частотной характеристи-
кой системы или комплексной амплитудно-фазовой (частотной) характери-
стикой (АФХ).
Из соотношения (30) видно, что АФХ системы может быть получена из
передаточной функции системы заменой
ω
j
p
=
. Полученная функция яв-
ляется отношением выходного гармонического сигнала к входному гармони-
ческому сигналу в комплексном виде в зависимости от частоты гармониче-
ского сигнала.
Представим функцию
)(
ω
jG
в полярных координатах: 
                                                        37

         y (t ) = A1 sin( ω ⋅ t + ϑ1 ) .
        Величины A1 и ϑ1 при неизменной амплитуде A0 входного сигнала
зависят от частоты ω .
      Очевидно, что каждой фиксированной частоте входного гармоническо-
го сигнала будет соответствовать свое определенное значение амплитуды и
фазы выходного сигнала.
      Пусть система описывается следующим дифференциальным уравнени-
ем:
        a 0 y ( n ) + a1 y ( n −1) + K + a n −1 y ′ + a n y =
                                                                                    ,            (26)
                = b0 u ( m ) + b1u ( m −1) + K + b m −1u ′ + a m u
а входное воздействие u изменяется по гармоническому закону. Для удоб-
ства мы будем его записывать в комплексной форме:
       u ( t ) = A0 ⋅ e j ω t .                                 (27)
      Тогда выходная переменная y также может быть представлена на
комплексной плоскости в виде:
       y (t ) = A1 (ω ) ⋅ e j [ω t +ϑ1 (ω )] .                  (28)
      Математически это означает, что функция y , определенная выраже-
нием (28) есть частное решение неоднородного дифференциального уравне-
ния (26). Это решение соответствует вынужденной составляющей решения
уравнения, полученной под действием вынуждающей правой части. Под-
ставляя (27) и (28) в (26) получим:
a 0 ( jω ) ( n ) A1 (ω ) e j [ω t +ϑ1 (ω )] + a1 ( jω ) ( n −1) A1 (ω ) e j [ω t +ϑ1 (ω )] + K
                                                                                                 (29)
L + a n A1 (ω ) e j [ω t +ϑ1 (ω )] = b0 ( jω ) ( m ) A0 (ω ) e jω t + K + b m A0 (ω ) e jω t
Отсюда легко находим:
          y (t , ω )) A1 (ω ) ⋅ e j [ω t +ϑ1 (ω )]
                     =                             = A (ω ) e jϑ (ω ) =
          u (t , ω )        A0 e   jω t


          a 0 ( jω ) n + a1 ( jω ) n −1 + K + a n   K ( jω )                                     (30)
        =                                         =          = G ( jω )
          b0 ( jω ) m + b1 ( jω ) m −1 + K + b m    D ( jω )
Здесь входной и выходной сигналы обозначены как функции от частоты.
      Функция G ( jω ) называется комплексной частотной характеристи-
кой системы или комплексной амплитудно-фазовой (частотной) характери-
стикой (АФХ).
      Из соотношения (30) видно, что АФХ системы может быть получена из
передаточной функции системы заменой p = jω . Полученная функция яв-
ляется отношением выходного гармонического сигнала к входному гармони-
ческому сигналу в комплексном виде в зависимости от частоты гармониче-
ского сигнала.
      Представим функцию G ( jω ) в полярных координатах:

Страницы