Теории автоматического регулирования. Марченко Ю.Н. - 40 стр.

UptoLike

Составители: 

40
)()(
)()()()(
1
1
10
ωω
ωωωω
QjP
ajajajajD
nn
nn
+=
=++++=
K
Годограф на-
чинается при
0=
ω
на веще-
ственной по-
ложительной
полуоси в точке
n
a
и при
=
ω
уходит
в бес-
конечность в
соответству-
ющем квад-
ранте. Угол по-
ворота вектора
)(
ω
jD
опре-
деляется выра-
жением:
π
π
ψ
ln = 2/
,
где
n
- степень характеристического полинома;
l
- число его корней с поло-
жительной вещественной частью.
Следовательно, для устойчивости системы
n
-ого порядка необходимо
и достаточно, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направ-
лении (против часовой стрелки) последовательно
n
квадрантов, нигде не
обращаясь в ноль.
Примерный вид годографов Михайлова устойчивых систем первого
пятого порядков показан на рисунке 2.4.
Если система на границе ус-
тойчивости, то годограф проходит
через начало осей координат так,
что после небольшой его деформа-
ции около начала осей координат
критерий удовлетворяется. Годо-
графы системы четвертого порядка,
находящейся
на границе устойчи-
вости, показаны на рисунке 2.5. На
рисунке 2.4б характеристический
полином имеет пару чисто мнимых
корней (колебательная граница ус-
тойчивости), во втором (рисунок
2.5а) – нулевой корень (апериоди-
Рисунок 2.3 – Частотные характеристики апериодического
звена
Рисунок 2.4 – Годографы Михайлова
устойчивых систем
                                            40

        D ( jω ) = a 0 ( jω ) n + a1 ( jω ) n −1 + K + a n −1 ( jω ) + a n =
          = P (ω ) + j ⋅ Q (ω )

                                                                          Годограф на-
                                                                        чинается    при
                                                                        ω = 0 на веще-
                                                                        ственной     по-
                                                                           ложительной
                                                                        полуоси в точке
                                                                        an      и   при
                                                                        ω = ∞ уходит
                                                                        в           бес-
                                                                        конечность     в
                                                                            соответству-
                                                                        ющем       квад-
                                                                        ранте. Угол по-
                                                                        ворота вектора
Рисунок 2.3 – Частотные характеристики апериодического                   D ( jω ) опре-
              звена                                                     деляется выра-
                                                                        жением:
       ψ = n π / 2 − lπ ,
 где n - степень характеристического полинома; l - число его корней с поло-
 жительной вещественной частью.
      Следовательно, для устойчивости системы n -ого порядка необходимо
 и достаточно, чтобы годограф Михайлова обошел в положительном направ-
 лении (против часовой стрелки) последовательно n квадрантов, нигде не
 обращаясь в ноль.
      Примерный вид годографов Михайлова устойчивых систем первого –
 пятого порядков показан на рисунке 2.4.
                                               Если система на границе ус-
                                         тойчивости, то годограф проходит
                                         через начало осей координат так,
                                         что после небольшой его деформа-
                                         ции около начала осей координат
                                         критерий удовлетворяется. Годо-
                                         графы системы четвертого порядка,
                                         находящейся на границе устойчи-
                                         вости, показаны на рисунке 2.5. На
                                         рисунке 2.4б характеристический
                                         полином имеет пару чисто мнимых
  Рисунок 2.4 – Годографы Михайлова
                                         корней (колебательная граница ус-
                устойчивых систем
                                         тойчивости), во втором (рисунок
                                         2.5а) – нулевой корень (апериоди-