Теории автоматического регулирования. Марченко Ю.Н. - 45 стр.

                                       45

β , поэтому знаки a1 и a 2 будут меняться там, где a1 = a 2 = 0 , то есть на
прямой β − α = 0 и на гиперболе 1 + α ⋅ β − β = 0 . Эти линии разбивают
плоскость параметров α , β на четыре области I,II,III,IV (рисунок 2.12). В
каждой из областей знаки a1 и a 2 будут постоянны. Возьмем по одной про-
                                       извольной точке в каждой области и
                                       определим в этих точках знаки коэффи-
                                       циентов a1 и a 2 .
          (-1,1)
                                             Область I: в точке (-1,1) имеем
                (1,1/2)                a1 = 2 > 0 , a 2 = − 1 < 0 .       Решение
                        0 (1,0)        уравнения (31) в этой области неустой-
                                       чиво.
                                (2,-2)
                                             Область II: в точке (0,1/2) имеем
                                       a1 = 1 / 2 > 0 , a 2 = 1 / 2 > 0 . Решение
                                       системы в области II устойчиво.
   Рисунок 2.12 – Область                    Область III: в точке (1,0) имеем
                    устойчивости       a1 = − 1 < 0 , a 2 = 1 > 0 . Решение (31)
                                       неустойчиво.
      Область IV: в точке (2,-2) имеем a1 = − 4 < 0 , a 2 = − 1 < 0 . Решение
(31) неустойчиво.
      Исследуем на устойчивость решение (31) на границах рассмотренных
областей.
                   1
       При β =         , α < 1 (граница между областями I и II). На этой гра-
                 1−α
нице a1 > 0 , a 2 = 0 , так что решение на ней устойчиво, но не асимптотиче-
ски.
        На границе между областями II и III ( α = β ) a1 = 0 , a 2 > 0 , так что
решение на ней устойчиво, но не асимптотически.
        Понятие D – разбиения. Допустим, что в системе n -го порядка име-
ется m каких либо изменяемых параметров. Построим m мерное простран-
ство параметров. На рисунке 2.13 показано для примера трехмерное про-
странство параметров p1 , p 2 , p 3 . Определенная точка, например N 1 , в этом
пространстве          соответствует   определенным    значениям     параметров
 p1 , p 2 , p 3 , а следовательно, определенным значениям коэффициентов ха-
рактеристического уравнения. При этом n корней уравнения также имеют
некоторые фиксированные значения.
        Предположим, что k из этих корней лежит в левой полуплоскости, а
остальные ( n − k ) корней – в правой полуплоскости. Совокупность точек
 N , характеризуемых тем, что k корней находится в левой полуплоскости, а
( n − k ) - в правой, образует в пространстве параметров область, которую