Теории автоматического регулирования. Марченко Ю.Н. - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

НФИ КемГУ | Новокузнецк

Составители: 

Рубрика: 

57
Тогда уравнение системы запишется следующим образом:
)(
)(
)(
)(
)1(
)(
*
20
*
012001
2
2
0
tykk
dt
tdy
kktykk
dt
tdy
kk
d
t
tyd
T
+=+++
.
Найдем изображение Лапласа при нулевых начальных условиях:
)(][)(])1([
*
20012001
2
0
sYkkskksYkkskksT ⋅+=⋅+++
, (44)
где
s
- комплексная переменная Лапласа;
)(,)(
*
sYsY
- изображения, соот-
ветственно, входной и выходной величины.
Выходная переменная определяется как:
)(
)1(
)(
*
2001
2
0
2001
sY
kkskksT
kkskk
sY ⋅
+++
+
=
. (45)
Изображение входной переменной:
{}
s
tLsY
1
)(1)(
*
==
. (46)
Подставим (46) в (45) получим
)22(
2
])1([
)(
2
2001
2
0
2001
++⋅
+
=
⋅+++
+
=
sss
s
skkskksT
kkskk
sY
Для нахождения
)(ty
воспользуемся формулой для случая нулевого
корня:
∑
=
⋅
+=
n
i
ts
ii
i
i
e
sBs
sA
B
A
ty
2
'
1
1
)(
)(
)0(
)0(
)(
, (47)
где
22)(
2
1
++= sssB
;
22)(
'
1
+= ssB
;
2)0(
=
A
;
2)0(
1
=B
,
js
±
−= 1
2,1
(48)
Подставим (48) в (47)
=
+−−−−
+
−
−
+
++−+−
++−
+=
−−+− tjtj
e
jj
j
e
jj
j
ty
)1()1(
)222)(1(
2)1(
)222)(1(
2)1(
2
2
)(
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−−−−
+−−
+
++−+−
++−
+=
−− jtjtt
e
jj
j
e
jj
j
e
)222)(1(
2)1(
)222)(1(
2)1(
1
=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
−−
−
−
+−
+
+=
−− jtjtt
e
jj
j
e
jj
j
e
2)1(
1
2)1(
1
1
te
t
cos1
−
−
.
График переходного процесса
tety
t
cos1)(
−
−=
приведен на рисунке
2.23.
В случае построения переходного процесса путем моделирования САР
на цифровой вычислительной машине необходимо представить
)(sY
в дис-
кретной форме. Возможны два подхода при построении дискретной САР для
моделирования на ЭВМ непрерывной САР, представленной, например, на
рисунке 2.24: 
                                                     57
        Тогда уравнение системы запишется следующим образом:
           d 2 y (t )                  dy (t )                            dy * (t )
        T0      2
                      + (1 + k 1 k 0 )         + k 0 k 2 y (t ) = k 1 k 0           + k 0 k 2 y * (t ) .
             dt                         dt                                  dt
        Найдем изображение Лапласа при нулевых начальных условиях:
        [T0 s 2 + (1 + k 1 k 0 ) s + k 0 k 2 ] ⋅ Y ( s ) = [ k 1 k 0 s + k 0 k 2 ] ⋅ Y * ( s ) , (44)
                                                   *
где s - комплексная переменная Лапласа; Y ( s ) , Y ( s ) - изображения, соот-
ветственно, входной и выходной величины.
      Выходная переменная определяется как:
                          k1 k 0 s + k 0 k 2
        Y (s) =                                       ⋅ Y * (s) .                                   (45)
                   T 0 s + (1 + k 1 k 0 ) s + k 0 k 2
                        2


        Изображение входной переменной:
                                   1
        Y * ( s ) = L {1(t )} =      .                                                              (46)
                                   s
        Подставим (46) в (45) получим
                          k1 k 0 s + k 0 k 2                       s+2
        Y (s) =                                          =
               [T0 s 2 + (1 + k 1 k 0 ) s + k 0 k 2 ] ⋅ s s ⋅ ( s 2 + 2 s + 2 )
        Для нахождения y (t ) воспользуемся формулой для случая нулевого
корня:
                  A(0 )      n
                                     A( s i )
         y (t ) =         +∑                      e si t ,                                          (47)
                  B1 ( 0 ) i = 2 s i ⋅ B1 ( s i )
                                         '

                                         '
где B1 ( s ) = s + 2 s + 2 ; B1 ( s ) = 2 s + 2 ; A ( 0 ) = 2 ; B1 ( 0 ) = 2 ,
                2


        s 1, 2 = − 1 ± j                                                                            (48)
        Подставим (48) в (47)
        2            (−1 + j ) + 2                                   (−1 − j ) + 2
y (t ) =    +                               e ( − 1+ j ) t +                                 e ( − 1− j ) t =
        2 ( − 1 + j )( − 2 + 2 j + 2 )                        ( − 1 − j )( − 2 − 2 j + 2 )
           ⎡        (−1 + j ) + 2                            (−1 − j ) + 2                 ⎤
= 1 + e −t ⎢                              e jt +                                    e − jt ⎥ =
           ⎣ ( − 1 + j )( − 2 + 2 j + 2 )           ( − 1 − j )( − 2 − 2 j + 2 )           ⎦
           ⎡ 1+ j                  1− j              ⎤
= 1 + e −t ⎢              e jt −              e − jt ⎥ = 1 − e − t cos t .
           ⎣ (−1 + j )2 j        (−1 − j )2 j        ⎦
                                                          −t
      График переходного процесса y (t ) = 1 − e cos t приведен на рисунке
2.23.
     В случае построения переходного процесса путем моделирования САР
на цифровой вычислительной машине необходимо представить Y (s ) в дис-
кретной форме. Возможны два подхода при построении дискретной САР для
моделирования на ЭВМ непрерывной САР, представленной, например, на
рисунке 2.24:

Страницы