Численные методы решения плоской задачи теплопроводности. Марданов Р.Ф. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

3 Решение методом конечных разностей
Другим подходом к решению стационарного уравнения теплопро-
водности является так называемый метод установления. В этом слу-
чае решается нестацио нарное уравнение теплопроводности с некото-
рым начальным распределением температуры и стационарными гра-
ничными условиями. В решении в ремя устремляется к бесконечно-
сти, когда решение “устанавливается”, то есть перестает меняться с
течением времени. Это решение совпадает с решением стационарного
уравнения.
Нестационарное уравнение теплопроводности имеет вид
∂Φ
∂t
− a∆Φ = 0. (2)
Коэффициент a теплопров одности влияет только на скорость уста-
новления решения, поэтому положим его равным единице.
В начальный момент времени
Φ(x, y)|
t=0
= Φ
0
(x, y).
Так как решение поставленной задачи не зависит от начального рас-
пределения температуры, то можно положить Φ
0
(x, y) ≡ 0.
Покроем область D равномерной сеткой с шагами ∆x и ∆y по x и
по y соответственно (рис. 4). Запишем следующую разностную ап-
проксимацию уравнения (2)
Φ
k+1
i,j
− Φ
k
i,j
∆t
−
Φ
k
i+1,j
− 2Φ
k
i,j
+ Φ
k
i−1,j
∆x
2
−
Φ
k
i,j+1
− 2Φ
k
i,j
+ Φ
k
i,j−1
∆y
2
= 0. (3)
10
3     Решение методом конечных разностей
    Другим подходом к решению стационарного уравнения теплопро-
водности является так называемый метод установления. В этом слу-
чае решается нестационарное уравнение теплопроводности с некото-
рым начальным распределением температуры и стационарными гра-
ничными условиями. В решении время устремляется к бесконечно-
сти, когда решение “устанавливается”, то есть перестает меняться с
течением времени. Это решение совпадает с решением стационарного
уравнения.
    Нестационарное уравнение теплопроводности имеет вид
    ∂Φ
       − a∆Φ = 0.                                                       (2)
    ∂t
Коэффициент a теплопроводности влияет только на скорость уста-
новления решения, поэтому положим его равным единице.
    В начальный момент времени

    Φ(x, y)|t=0 = Φ0 (x, y).

Так как решение поставленной задачи не зависит от начального рас-
пределения температуры, то можно положить Φ0 (x, y) ≡ 0.
    Покроем область D равномерной сеткой с шагами ∆x и ∆y по x и
по y соответственно (рис. 4). Запишем следующую разностную ап-
проксимацию уравнения (2)
Φk+1    k
 i,j − Φi,j   Φki+1,j − 2Φki,j + Φki−1,j Φki,j+1 − 2Φki,j + Φki,j−1
            −                           −                           = 0. (3)
    ∆t                  ∆x2                        ∆y 2
                                    10

Страницы