Численные методы решения плоской задачи теплопроводности. Марданов Р.Ф. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

все тепло, поступившее через один участок границы L, должно вы-
ходить через другой, то есть суммарный приток тепла через границу
равен нулю
Z
L
q(s)ds = 0.
Так как интенсивность q
i
источников на каждой панели постоянна
вдоль панели, то
Z
L
q(s)ds =
N
X
i=1
Z
l
i
q
i
ds =
N
X
i=1
q
i
d
i
.
Таким образом последнее уравнение имеет вид
N
X
i=1
q
i
d
i
= 0.
В итоге получим следующую систему уравнений
Ax = b,
где коэффициенты a
ji
матрицы A следующие:
a
ji
=
1
2π
Z
l
i
ln |r(x
cj
, y
cj
, s)|ds, i =
1, N, j = 1, N, i 6= j,
a
ii
=
d
i
2π
ln
d
i
2
− 1
, i =
1, N,
a
(N+1) i
= d
i
, i =
1, N,
a
j (N+1)
= 1, j =
1, N,
a
(N+1) (N+1)
= 0.
В коэффициенте a
ji
индекс j отвечает за номер уравнения (строку
матрицы), а индекс i – за номер переменной (столбец матрицы). Стро-
ка переменных
x = (q
1
, q
2
, . . . , q
N
, ϕ
0
).
8
все тепло, поступившее через один участок границы L, должно вы-
ходить через другой, то есть суммарный приток тепла через границу
равен нулю
   Z
      q(s)ds = 0.
    L

Так как интенсивность qi источников на каждой панели постоянна
вдоль панели, то
   Z          XN Z         N
                           X
     q(s)ds =      qi ds =   qi di .
    L                  i=1 l           i=1
                             i

Таким образом последнее уравнение имеет вид
   N
   X
          qi di = 0.
    i=1

    В итоге получим следующую систему уравнений

   Ax = b,

где коэффициенты aji матрицы A следующие:
               1
                 Z
     aji =           ln |r(xcj , ycj , s)|ds, i = 1, N , j = 1, N , i 6= j,
             2π
   
   
   
   
   
                 li
                              
              d         di
   
   
               i
    aii =           ln − 1 ,                  i = 1, N ,
   
   
             2π         2
   
   
     a(N +1) i = di ,                         i = 1, N ,
   
   
   
   
   
   
     aj (N +1) = 1,                           j = 1, N ,
   
   
      a(N +1) (N +1) = 0.
   

В коэффициенте aji индекс j отвечает за номер уравнения (строку
матрицы), а индекс i – за номер переменной (столбец матрицы). Стро-
ка переменных

   x = (q1 , q2 , . . . , qN , ϕ0 ).

                                             8

Страницы