Численные методы решения плоской задачи теплопроводности. Марданов Р.Ф. - 7 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

l
i
ξ
ξ = 0
(x
ci
, y
ci
)
Рис. 3
В случае i = j, когда контрольная точка находится на панели
интегрирования (является ее серединой), функция r(x
cj
, y
cj
, s) обра-
щается в но ль при s = s
ci
, и интеграл будет содержать особ енность.
Для избежания проблем, которые могут возникнуть при численном
интегрировании, выведем аналитическую формулу для этого случая.
Введем локальную ось ξ проходящую через панель l
i
так, что точ-
ка ξ = 0 совпадает с серединой этой панели (рис. 3). Тогда
Z
l
i
ln |r(x
cj
, y
cj
, s)|ds =
d
i
/2
Z
−d
i
/2
ln |ξ|dξ = 2
d
i
/2
Z
0
ln ξ dξ,
где d
i
– длина панели l
i
. Воспользовавшись аналитической формулой
Z
ln ξ dξ = ξ(ln ξ − 1),
для случая i = j получим
Z
l
i
ln |r(x
cj
, y
cj
, s)|ds = d
i
ln
d
i
2
− 1
.
Для замыкания системы уравнений используем тот факт, что во
внутренних точках области D нет источников тепла. Следовательно,
7
                                                       li
                                       ξ=0
                                                   (xci , yci )


                        ξ

                                               Рис. 3


   В случае i = j, когда контрольная точка находится на панели
интегрирования (является ее серединой), функция r(xcj , ycj , s) обра-
щается в ноль при s = sci , и интеграл будет содержать особенность.
Для избежания проблем, которые могут возникнуть при численном
интегрировании, выведем аналитическую формулу для этого случая.
Введем локальную ось ξ проходящую через панель li так, что точ-
ка ξ = 0 совпадает с серединой этой панели (рис. 3). Тогда

   Z                                  Zdi /2                Zdi /2
        ln |r(xcj , ycj , s)|ds =              ln |ξ|dξ = 2       ln ξ dξ,
   li                               −di /2                        0


где di – длина панели li . Воспользовавшись аналитической формулой
   Z
       ln ξ dξ = ξ(ln ξ − 1),

для случая i = j получим
                                        
                                     di
   Z
      ln |r(xcj , ycj , s)|ds = di ln − 1 .
                                     2
   li

   Для замыкания системы уравнений используем тот факт, что во
внутренних точках области D нет источников тепла. Следовательно,

                                                   7

Страницы