Численные методы решения плоской задачи теплопроводности. Марданов Р.Ф. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

панели. Распределим вдоль каждой панели источники тепла посто-
янной интенсивности q
i
. Функцию распределения температуры будем
отыскивать в виде
Φ(x, y) = ϕ
0
+
N
X
i=1
q
i
ϕ
i
(x, y), (1)
где ϕ
0
– константа, а
ϕ
i
(x, y) =
1
2π
Z
l
i
ln |r(x, y, s)|ds
– фундаментальное решение уравнения Лапласа – распределение тем-
пературы, индуцируемой источниками тепла единичной интенсивно-
сти, распределенными вдоль панели l
i
. Функция r(x, y, s) – расстоя-
ние от точки с координатами (x, y) в области D до текущей точки
интегрирования на панели l
i
с дуговой абсциссой s. В выражение (1)
входит (N + 1) неизвестная: константа ϕ
0
и интенсивности распре-
деленных источников q
i
, i =
1, N. Для их определения необходимо
составить систему из (N + 1) уравнения.
Для составления системы уравнений используем граничные усло-
вия. Потребуем выполнения граничных условий в контрольных точ-
ках. В качестве контрольных точек выберем середины панелей с ко-
ординатами (x
cj
, y
cj
), j =
1, N то есть
Φ(x
cj
, y
cj
) = f(s
cj
),
где s
cj
– дуговая абсцисса соответствующей контрольной точки. Под-
ставив сюда представление (1) функции Φ(x, y), получим
ϕ
0
+
N
X
i=1
q
i
2π
Z
l
i
ln |r(x
cj
, y
cj
, s)|ds = f(s
cj
), j =
1, N.
6
панели. Распределим вдоль каждой панели источники тепла посто-
янной интенсивности qi . Функцию распределения температуры будем
отыскивать в виде
                            N
                            X
   Φ(x, y) = ϕ0 +                 qi ϕi (x, y),                   (1)
                            i=1
где ϕ0 – константа, а
                1
                  Z
   ϕi (x, y) =      ln |r(x, y, s)|ds
               2π
                       li

– фундаментальное решение уравнения Лапласа – распределение тем-
пературы, индуцируемой источниками тепла единичной интенсивно-
сти, распределенными вдоль панели li . Функция r(x, y, s) – расстоя-
ние от точки с координатами (x, y) в области D до текущей точки
интегрирования на панели li с дуговой абсциссой s. В выражение (1)
входит (N + 1) неизвестная: константа ϕ0 и интенсивности распре-
деленных источников qi , i = 1, N . Для их определения необходимо
составить систему из (N + 1) уравнения.
   Для составления системы уравнений используем граничные усло-
вия. Потребуем выполнения граничных условий в контрольных точ-
ках. В качестве контрольных точек выберем середины панелей с ко-
ординатами (xcj , ycj ), j = 1, N то есть

   Φ(xcj , ycj ) = f (scj ),

где scj – дуговая абсцисса соответствующей контрольной точки. Под-
ставив сюда представление (1) функции Φ(x, y), получим
         N
            qi
        X      Z
   ϕ0 +          ln |r(xcj , ycj , s)|ds = f (scj ), j = 1, N .
        i=1
            2π
                  li

                                                  6

Страницы