Составители:
значение
22
L2
=
==
=
!
. Для модуля момента в результате измерения получим
L2
=
==
=
!
.
Однако два слагаемых в найденном разложении отличаются значениями
m
= +1 и
m
=
1
−
. Следовательно, при измерении проекции момента импульса частицы,
находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии, будут реализовываться
два значения
z
L
=+
=+=+
=+
!
и
z
L.
=−
=−=−
=−
!
Эти значения при измерениях будут получаться с вероятностями, которые
определяются квадратами модулей коэффициентов С
1
и С
2
; в разложении
волновой функции в ряд по собственным функциям оператора
2
ˆ
L
. Так как в
нашем случае
1 2
1
СС ,
2
==
====
==
эти вероятности одинаковы и равны
1
P( )
2
+=
+=+=
+=
!
и
1
P( ) .
2
−=
−=−=
−=
!
Среднее значение результатов измерения
L
z
при этом будет равно нулю, так как
z
11
LP()P()() 0.
22
=+ +−−= − =
=+ +−−= − ==+ +−−= − =
=+ +−−= − =
!! ! ! ! !
Этот результат можно получить и формальным вычислением по формуле (1.5).
Действительно,
z
ˆ
Li iAsinsin,
Ψ
ΨΨ
Ψ
Ψθ
ϕ
Ψθ
ϕ
Ψθ
ϕ
Ψθ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
∂
∂∂
∂
=− =
=− ==− =
=− =
∂
∂∂
∂
!!
поэтому
2
*
zz
00
2 2
2
23 3
00 0 0
ˆ
L(,){L(,)}sindd
iA
i A sin sin cos d d sin d sin 2 d .
2
ππ
ππππ
ππ
ππ π π
ππ π πππ π π
ππ π π
Ψθϕ Ψθϕ θθϕ
Ψθϕ Ψθϕ θθϕΨθϕ Ψθϕ θθϕ
Ψθϕ Ψθϕ θθϕ
θ
ϕϕ
θ
ϕ
θθ
ϕϕ
θ
ϕϕ
θ
ϕ
θθ
ϕϕ
θ
ϕϕ
θ
ϕ
θθ
ϕϕ
θ
ϕϕ
θ
ϕ
θθ
ϕϕ
==
====
==
==
====
==
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫∫∫ ∫ ∫
∫∫ ∫ ∫
!
!
Второй интеграл в полученном соотношении равен нулю, следовательно, и
<
L
z
>=0.
Задача 7. Покажите, что операторы проекций момента импульса связаны
коммутационным соотношением
xy z
ˆˆ ˆ
[L ,L ] i L .=
==
=
!
(3.7)
Решение. Коммутатор операторов
x
ˆ
L
и
y
ˆ
L
имеет вид
xy xy yz
ˆˆ ˆˆ ˆˆ
[L ,L ] L L L L .
=−
=−=−
=−
С учетом явного вида операторов (2.5) имеем
значение L2 = 2 ! 2 . Для модуля момента в результате измерения получим L = 2 ! .
Однако два слагаемых в найденном разложении отличаются значениями m= +1 и
m= − 1 . Следовательно, при измерении проекции момента импульса частицы,
находящейся в рассматриваемом квантовом состоянии, будут реализовываться
два значения
Lz = +!
+ и Lz = −!
− .
Эти значения при измерениях будут получаться с вероятностями, которые
определяются квадратами модулей коэффициентов С1 и С2; в разложении
волновой функции в ряд по собственным функциям оператора L̂2 . Так как в
1
нашем случае С 1 = С 2 = , эти вероятности одинаковы и равны
2
1 1
P( + ! ) = и P( − ! ) = .
2 2
Среднее значение результатов измерения Lz при этом будет равно нулю, так как
1 1
Lz = P( + ! )! + P( − ! )( − ! ) = ! − ! = 0.
2 2
Этот результат можно получить и формальным вычислением по формуле (1.5).
Действительно,
∂Ψ
L̂zΨ = − i ! = i !A sinθ sin ϕ ,
∂ϕ
поэтому
2π π
Lz = ∫ ∫Ψ
*
( θ ,ϕ ){ Lˆ zΨ ( θ ,ϕ )} sin θ dθ d ϕ =
0 0
2π π π 2π
i !A 2
= i !A ∫ ∫0 sin θ sin ϕ cos ϕ dθ d ϕ = 2 ∫ sin θ dθ ∫ sin 2ϕ dϕ .
2 3 3
0 0 0
Второй интеграл в полученном соотношении равен нулю, следовательно, и
=0.
Задача 7. Покажите, что операторы проекций момента импульса связаны
коммутационным соотношением
[ Lˆ x , Lˆ y ] = i !Lˆ z . (3.7)
Решение. Коммутатор операторов L̂x и L̂y имеет вид
ˆ , Lˆ ] = L
[L ˆ Lˆ − L
ˆ Lˆ
x y x y y z.
С учетом явного вида операторов (2.5) имеем
