Измерение физических величин в квантовых системах - 14 стр.

Задача 9. Докажите, что оператор квадрата импульса                          p̂ 2   коммутирует с
оператором квадрата момента импульса L̂2 .
Решение. В сферической системе координат
                                                            1         
                              p̂ 2 = − ! 2 ∆ = − ! 2  ∆ r + 2 ∆θ ,ϕ   ,
                                                           r          
                              L̂2 = − ! 2 ∆θ ,ϕ ,
поэтому
                                                             1                 
                   [ pˆ 2 , Lˆ 2 ] = ! 4  [ ∆r , ∆θ ,ϕ ] + 2 [ ∆θ ,ϕ , ∆θ ,ϕ ]  .
                                                            r                  
В этом выражении коммутатор [ ∆θ ,ϕ , ∆θ ,ϕ ] = ∆θ ,ϕ − ∆θ ,ϕ = 0. Равен нулю и коммутатор
                                                           2     2


[ ∆r , ∆θ ,ϕ ] . Действительно, [ ∆r , ∆θ ,ϕ ] = ∆r ∆θ ,ϕ − ∆θ ,ϕ ∆r = 0 , поскольку операторы ∆r и
∆θ ,ϕ содержат дифференциальные операции по разным переменным, и результат
их последовательного действия на волновую функцию не зависит от порядка их
следования. Тем самым мы доказали, что [ ˆp 2 , Lˆ 2 ] = 0 . Равенство нулю этого
коммутатора означает, что квадрат импульса и квадрат момента импульса могут
быть измерены одновременно точно.


                  СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Врунов П.А., Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. Операторы в квантовой механике.
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 1994. 40с.
2. Чертов А.Г., Воробьев А.А. Задачник по физике. М.: Высш. шк., 1988. 527 с.
3. Иродов И.Е. Задачи по общей физике. М.: ЗАО «Изд-во БИНОМ». 1998. 448 с.
4. Иродов И.Е. Задачи по квантовой физике. М.: Высш. шк., 1991. 175 с.
5. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. М.: Высш. шк., 1961. 512 с.
6. Ландау Л. Д., Лифшиц Е.М. Краткий курс теоретической физики. Кн. 2;
Квантовая механика. М.: Наука, 1972. 367 с.