Составители:
2
xy
222 22
22
2
22 2
2
2
2
z
ˆˆ
[L ,L ] y z z x z x y z
zyxz xz zy
yyz yx z zx zy
xzxz yxyzxz
zxyxxz
xy z y zy
ˆ
yx iL.
xy
∂∂∂∂ ∂∂ ∂∂
∂∂∂∂ ∂∂ ∂∂∂∂∂∂ ∂∂ ∂∂
∂∂∂∂ ∂∂ ∂∂
=− − − − − − =
=− − − − − − ==− − − − − − =
=− − − − − − =
∂∂∂∂ ∂∂∂∂
∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂ ∂∂ ∂∂
∂∂∂∂ ∂∂∂∂
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∂∂ ∂ ∂ ∂ ∂
=− + − − + − +
=− + − − + − +=− + − − + − +
=− + − − + − +
∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂ ∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂
∂∂∂∂∂∂∂∂
∂∂∂∂
++−− =
++−− =++−− =
++−− =
∂∂ ∂ ∂ ∂∂
∂∂ ∂ ∂ ∂∂∂∂ ∂ ∂ ∂∂
∂∂ ∂ ∂ ∂∂
∂∂
∂∂∂∂
∂∂
=− − =
=− − ==− − =
=− − =
∂∂
∂∂∂∂
∂∂
!
!
!!
Точно так же можно получить коммутационные соотношения для других пар
операторов проекций момента импульса:
yz x zx y
ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ
[L ,L ] i L , [L ,L ] i L .
==
====
==
!!
Отсюда следует вывод: три проекции момента импульса
xyz
L,L,L
не могут быть
одновременно точно измерены.
Задача 8. Докажите, что оператор квадрата момента импульса
2
ˆ
L
коммутирует с
операторами
xy
ˆˆ
L,L
и
z
ˆ
L
.
Решение. По определению оператора
2
ˆ
L
,
2222
xyz
ˆˆˆˆ
LLLL.
=++
=++=++
=++
Следовательно,
2222
xxxyxzx
ˆˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆ
[L ,L ] [L ,L ] [L ,L ] [L ,L ].
=++
=++=++
=++
(3.8)
Для первого слагаемого в (3.8) находим
22233
x x xx xx x x
ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆ ˆ
[L ,L ] L L L L L L 0.
= − =−=
= − =−== − =−=
= − =−=
Второе и третье слагаемые в (3.8) преобразуем, воспользовавшись
коммутационными соотношениями, полученными в задаче 7:
y
xzzx
y
ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ
[L ,L ] i L ,[L ,L ] i L .
=− =
=− ==− =
=− =
!!
С учетом этих соотношений
222
y x yx xy yyx yxy yxy xyy
yyx yxy yz zy
222
z x zx xz zzx zxz zxz xzz
zzx z
ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ
[L,L ] LL LL LLL LLL LLL LLL
ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆ ˆˆ
L[L,L] [L,L]L i(LL LL),
ˆ ˆ ˆˆ ˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ ˆˆˆ
[L,L ] LL LL LLL LLL LLL LLL
ˆˆˆ ˆˆ
L[L,L ] [L,
=−= − + − =
=−= − + − ==−= − + − =
=−= − + − =
=+=−+
=+=−+=+=−+
=+=−+
=−= − + − =
=−= − + − ==−= − + − =
=−= − + − =
=+
=+=+
=+
!
xz zy yz
ˆˆˆˆˆ
L]L i(LL LL).
=+
=+=+
=+
!
Подставляя полученные выражения в (3.8), получаем
2
x
ˆˆ
[L ,L ] 0,
=
==
=
т. е. оператор
2
ˆ
L
коммутирует с оператором
x
ˆ
L
.
Аналогично доказывается коммутативность оператора
2
ˆ
L
с операторами
y
ˆ
L
и
z
ˆ
L
.
Таким образом, мы доказали, что квадрат момента импульса может быть
одновременно точно измерен только с одной из его проекций.
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
[ Lˆ x , Lˆ y ] = − ! 2 y − z z − x −z − x y − z =
∂z ∂y ∂x ∂z ∂x ∂z ∂z ∂y
∂ ∂2 ∂2 ∂2 ∂2 ∂2
= −! y
2
+ yz − yx 2 − z 2
+ zx − zy +
∂x ∂z ∂x ∂z ∂y∂x ∂y ∂z ∂x ∂z
∂2 ∂2 ∂ ∂2
+z2 + xy 2 − x − xz =
∂x ∂y ∂z ∂y ∂z ∂y
∂ ∂ ˆ
= −!2 y −x = i !Lz .
∂x ∂y
Точно так же можно получить коммутационные соотношения для других пар
операторов проекций момента импульса:
[ Lˆ y , Lˆ z ] = i !Lˆ x , [ Lˆ z , Lˆ x ] = i !Lˆ y .
Отсюда следует вывод: три проекции момента импульса Lx , Ly , Lz не могут быть
одновременно точно измерены.
Задача 8. Докажите, что оператор квадрата момента импульса L̂2 коммутирует с
операторами Lˆ x , Lˆ y и L̂z .
Решение. По определению оператора L̂2 ,
Lˆ 2 = Lˆ 2x + Lˆ 2y + Lˆ 2z .
Следовательно,
ˆ2 , L
[L ˆ ] = [L
ˆ 2 , Lˆ ] + [ L
ˆ 2 , Lˆ ] + [ L
ˆ 2 , Lˆ ]. (3.8)
x x x y x z x
Для первого слагаемого в (3.8) находим
[ Lˆ 2x , Lˆ x ] = L
ˆ 2 Lˆ − L
x x
ˆ Lˆ 2 = Lˆ 3 − L
x x x
ˆ 3 = 0.
x
Второе и третье слагаемые в (3.8) преобразуем, воспользовавшись
коммутационными соотношениями, полученными в задаче 7:
[ Lˆ y , Lˆ x ] = − i !L
ˆ , [ Lˆ , L
z z
ˆ ] = i !Lˆ .
x y
С учетом этих соотношений
[ Lˆ 2y , Lˆ x ] = Lˆ 2y Lˆ x − Lˆ x Lˆ 2y = Lˆ y Lˆ y Lˆ x − Lˆ y Lˆ x Lˆ y + Lˆ y Lˆ x Lˆ y − Lˆ x Lˆ y Lˆ y =
= Lˆ y [ Lˆ y , Lˆ x ] + [ Lˆ y , Lˆ x ] Lˆ y = − i !( Lˆ y Lˆ z + Lˆ z Lˆ y ),
[ Lˆ 2z , Lˆ x ] = Lˆ 2z Lˆ x − Lˆ x Lˆ 2z = Lˆ z Lˆ z Lˆ x − Lˆ z Lˆ x Lˆ z + Lˆ z Lˆ x Lˆ z − Lˆ x Lˆ z Lˆ z =
= Lˆ [ Lˆ , Lˆ ] + [ Lˆ , Lˆ ] Lˆ = i !( Lˆ Lˆ + Lˆ Lˆ ).
z z x z x z z y y z
Подставляя полученные выражения в (3.8), получаем
ˆ2 , L
[L ˆ ] = 0,
x
т. е. оператор L̂2 коммутирует с оператором L̂x .
Аналогично доказывается коммутативность оператора L̂2 с операторами L̂y и L̂z .
Таким образом, мы доказали, что квадрат момента импульса может быть
одновременно точно измерен только с одной из его проекций.
