Составители:
*2 2
K
00
222
2
1
32
0 1 0 1 0 1
00
ˆ
F (r){F (r)}4 r dr (r)F(r) (r)4 r dr
e2rer e
A exp dr e d .
rr2 2r
ξ
ξξ
ξ
ΨΨπΨΨπ
ΨΨπΨΨπΨΨπΨΨπ
ΨΨπΨΨπ
ξ
ξξ
ξ
επεπε
επεπεεπεπε
επεπε
∞∞
∞∞∞∞
∞∞
∞∞
∞∞∞∞
∞∞
−
−−
−
===
======
===
=−= =
=−= ==−= =
=−= =
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
б) Потенциальная энергия электрона в поле ядра
2
0
e
U(r ) ,
4r
πε
πεπε
πε
=−
=−=−
=−
а оператор потенциальной энергии есть оператор умножения на функцию
U(r)
.
Поэтому
2
*2
1
0
00
e
ˆ
U (r){U (r)}4 r dr (r)U(r) (r)dr I .
4
ΨΨπ Ψ Ψ
ΨΨπ Ψ ΨΨΨπ Ψ Ψ
ΨΨπ Ψ Ψ
πε
πεπε
πε
∞∞
∞∞∞∞
∞∞
===−
===−===−
===−
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
Здесь
2
22
1
1
3
11 1
00
1 2r 4 r 1
IAex
p
4rdr e d .
rr r2 r
ξ
ξξ
ξ
π
ππ
π
πξξ
πξξπξξ
πξξ
π
ππ
π
∞∞
∞∞∞∞
∞∞
−
−−
−
=− = =
=− = ==− = =
=− = =
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
Таким образом, среднее значение потенциальной энергии электрона в основном
состоянии атома водорода
2
0 1
e
U.
4r
πε
πεπε
πε
=−
=−=−
=−
в) В сферической системе координат для волновой функции (3.5)
22 2
2
K
2
00 011 1
1 dd 21 r
ˆ
ErAexp,
2m 2m r dr dr 2m r r r r
Ψ
ΨΨ
Ψ
Ψ∆Ψ
Ψ∆ΨΨ∆Ψ
Ψ∆Ψ
=− =− = − −
=− =− = − −=− =− = − −
=− =− = − −
!! !
где
m
0
- масса электрона.
Поэтому, вычисляя среднее значение кинетической энергии электрона по
формуле (1.15), получаем
2
*222
K
0 11
00
222
22
1 2
22
0 11 0 1 0 1
0
1 2r
ˆ
E ( r ){ E ( r )}4 r dr A exp 4 r dr
mr r r
2r
Aexp 4 rdr I I.
2m r r m r 2m r
κ
κκ
κ
ΨΨπ π
ΨΨπ πΨΨπ π
ΨΨπ π
π
ππ
π
∞∞
∞∞∞∞
∞∞
∞
∞∞
∞
==−−
==−−==−−
==−−
−−=−
−−=−−−=−
−−=−
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫
!
!!!
Первый интеграл
I
1
был вычислен в пункте б), причем
I
1
=
1
/
r
1
. Второй интеграл
I
2
=
1
в силу условия нормировки волновой функции (3.5). Следовательно, среднее
значение кинетической энергии электрона
22 2
22 2
0 1 0 1 0 1
E.
mr 2mr 2mr
κ
κκ
κ
=− =
=− ==− =
=− =
!! !
Для проверки найденных значений
<U>
и
<E
K
>
заметим, что их сумма должна
быть равна полной энергии электрона в основном состоянии атома водорода:
4
0
1
222
0
me
E.
32
πε
πεπε
πε
=−
=−=−
=−
!
Если учесть, что боровский радиус
∞ ∞
F = ∫Ψ ( r ){ Fˆ KΨ ( r )}4π r 2 dr = ∫Ψ ( r )F ( r )Ψ ( r )4π r 2 dr =
*
0 0
2 ∞ ∞
e 2r 2
e r1 −ξ e2
= ∫0 A exp − r1 dr = πε 0 r13 2 ∫0 e dξ = 2πε 0 r12 .
2
ε0
б) Потенциальная энергия электрона в поле ядра
e2
U( r ) = − ,
4πε 0 r
а оператор потенциальной энергии есть оператор умножения на функцию U(r).
Поэтому
∞ ∞
ˆ e2
U = ∫Ψ ( r ){ UΨ ( r )}4π r dr = ∫Ψ ( r )U( r )Ψ ( r )dr = −
* 2
I1 .
0 0 4πε 0
Здесь
∞ 2 ∞
1 2r 4π r1 1
I 1 = ∫ A exp − 4π r 2 dr =
2
2 ∫ ξ e dξ =
−ξ
.
0 r r1 π r13 0 r1
Таким образом, среднее значение потенциальной энергии электрона в основном
состоянии атома водорода
e2
U =− .
4πε 0 r1
в) В сферической системе координат для волновой функции (3.5)
!2 ! 2 1 d 2 dΨ !2 2 1 r
Ê KΨ = − ∆Ψ = − r = − Aexp − ,
2m0 2m0 r 2 dr dr 2m0 r1 r r1 r1
где m0 - масса электрона.
Поэтому, вычисляя среднее значение кинетической энергии электрона по
формуле (1.15), получаем
∞ ∞
ˆ !2 2 1 2r
E K = ∫Ψ ( r ){ EκΨ ( r )}4π r dr =
* 2
∫ A exp − 4π r dr −
2
0
m0 r1 0 r r1
∞
!2 2r !2 !2
2m0 r12 ∫0
− A 2
exp − 4π r 2
dr = I 1 − I .
2 2
r
1 m r
0 1 2m r
0 1
Первый интеграл I1 был вычислен в пункте б), причем I1=1/r1. Второй интеграл
I2=1 в силу условия нормировки волновой функции (3.5). Следовательно, среднее
значение кинетической энергии электрона
!2 !2 !2
Eκ = − = .
m0 r12 2m0 r12 2m0 r12
Для проверки найденных значений и заметим, что их сумма должна
быть равна полной энергии электрона в основном состоянии атома водорода:
m0 e 4
E1 = − .
32π 2ε 02 ! 2
Если учесть, что боровский радиус
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
