Измерение физических величин в квантовых системах - 9 стр.

средняя потенциальная энергия квантового осциллятора равна его средней
кинетической энергии, а их сумма составляет полную энергию осциллятора.
     В квантовой механике полная энергия осциллятора определяется известной
формулой
                                     1
                      E n = !ω 0  n +  ,                n = 0,          1,    2, ...
                                     2
Для первого возбужденного состояния (n=1) полная энергия осциллятора
       3
E1 =     !ω 0 . Тогда для средней потенциальной энергии такого квантового
       2
осциллятора получаем значения
                                                  1      3
                                          U =       E 1 = !ω 0 .
                                                  2      4

Задача 5. В основном состоянии атома водорода волновая функция электрона
имеет вид
                                          r                                            (3.5)
                         Ψ ( r ) = A exp  −  ,                   0 ≤ r ≤ ∞,
                                          r1 
где А - нормировочная константа; r1 - значение боровского радиуса. Найдите для
этого состояния средние значения: а) модуля кулоновской силы, действующей на
электрон; б) потенциальной энергии взаимодействия электрона с ядром; в)
кинетической энергии движущегося электрона.
Решение. Константу А найдем из условия нормировки волновой функции,
которое в сферической системе координат запишется в виде
                                      ∞
                                                  2r 
                                      ∫ exp  − r     4π r dr = 1.
                                  2                         2
                              A
                                      0             1 

Отсюда
                                                   3 ∞
                                   r 
                              4π A  1               ∫ξ       e − ξ d ξ = 1.
                                          2                2

                                   2                0

Интегрируя по частям, находим
                          ∞                       ∞                   ∞
                      I = ∫ ξ e dξ = 2 ∫ ξ e dξ = 2∫ e −ξ dξ = 2
                              2 −ξ                        −ξ

                          0                       0                   0

и вычисляем нормировочную константу
                                                           1
                                              A=− .
                                           π r13
а) В сферической системе координат модуль кулоновской силы зависит от
расстояния r электрона до ядра, причем
                                            e2
                                 F( r ) =           .
                                          4πε 0 r 2
Оператор модуля кулоновской силы F̂K есть оператор умножения на функцию
F( r ) .
Среднее значение модуля кулоновской силы вычисляем по формуле (1.15):