Измерение физических величин в квантовых системах - 8 стр.

       +∞                                         +∞                                        +∞
                                                                                      2 ! +∞                                 2!
 p x = ∫ Ψ * ( x ){ pˆ xΨ ( x )}dx = k ! ∫ Ψ * ( x )Ψ ( x )dx + i                       2 ∫
                                                                                             xΨ * ( x )Ψ ( x )dx = k !I 1 + i 2 I 2 .
       −∞                                         −∞
                                                                                      a −∞                                   a
Из условия нормировки волновой функции
                                                       +∞
                                              I1 =     ∫Ψ            ( x )Ψ ( x )dx = 1.
                                                                 *

                                                       −∞
Во втором интеграле подынтегральная функция является нечетной функцией
координаты х, а интегрирование проводится в симметричных пределах от -∞ до
+∞. Поэтому этот интеграл равен нулю, т. е.
                               +∞                                             +∞
                                                                                         2 x2       
                        I2 =    ∫   xΨ ( x )Ψ ( x )dx = A                     ∫−∞       − 2          dx = 0.
                                          *                               2
                                                                                  x exp
                               −∞                                                        a          
Окончательно находим отличное от нуля среднее значение проекции импульса
частицы
                                px = k ! .

Задача 4. Найдите среднее значение потенциальной энергии квантового
осциллятора с частотой ω0 в первом возбужденном состоянии, описываемом
волновой функцией
                                             m0ω 0 x 2                                                                       (3.4)
                           Ψ ( x ) = Ax exp  −         ,                              −∞ < x < +∞ .
                                               2! 
 Здесь А — некоторая нормировочная постоянная; m0 - масса частицы.
Решение. Так как потенциальная энергия осциллятора
                                    kx 2 m0ω 0 x 2
                           U( x ) =     =          ,
                                     2     2
в соответствии с (1.5) и (2.14) среднее значение потенциальной энергии
осциллятора находим по формуле
                               +∞                                             +∞
                     U = ∫ Ψ ( x ){ UˆΨ ( x )}dx =
                                     *
                                                                              ∫ Ψ ( x )U ( x )Ψ ( x )dx =
                               −∞                                             −∞
                                     +∞
                        m 0 ⋅ ω 02                 m 0ω 0 x 2                     
                    =                ∫            −
                                          2 4
                                        A  x  exp                                   dx .
                            2        −∞               !                           
Проинтегрировав один раз по частям, получаем
                                            +∞
                               m0ω 02 !                    m ω x2                                     
                           U =             3 ∫ A2 x 2 exp  − 0 0                                       dx.
                                2 2m0 ⋅ ω 0 −∞                !                                       
Так как по условию нормировки волновой функции
                               +∞                           +∞
                                                                           m0ω 0 x 2            
                               ∫ Ψ ( x ) dx =               ∫−∞
                                              2
                                                                          −                      dx = 1,
                                                                  2 2
                                                                A  x  exp
                               −∞                                            !                  
для средней потенциальной энергии осциллятора окончательно получаем
                                                                        3
                                                                 U =      !ω 0 .
                                                                        4
     Правилъность полученного результата можно обосновать следующим
образом. Как и при гармонических колебаниях классического осциллятора,