Составители:
Задача 2. Стационарное квантовое состояние частицы массой m
0
, движущейся в
одномерной потенциальной яме шириной
а
с абсолютно непроницаемыми
стенками, описывается волновой функцией
n
2nx
sin , 0 x a
(x)
aa
0, x 0,x a,
π
ππ
π
Ψ
ΨΨ
Ψ
<<
<<<<
<<
=
==
=
<>
<><>
<>
(3.2)
где
n
=1, 2,... - квантовое число, определяющее состояние частицы.
Определите: а) среднее значение координаты частицы <
x
>; б) среднее значение
проекции импульса <
p
x
> и в) среднее значение квадрата импульса частицы <
p
2
>.
Решение. а) Согласно (1.5), учитывая, что
*
nn
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
Ψ
=
==
=
, находим
a
*
nn n n
0
ˆ
x (x){x (x)}dx (x) x (x)dx.
ΨΨ Ψ Ψ
ΨΨ Ψ ΨΨΨ Ψ Ψ
ΨΨ Ψ Ψ
+∞
+∞+∞
+∞
−∞
−∞−∞
−∞
==⋅⋅
==⋅⋅==⋅⋅
==⋅⋅
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
Подставляя выражение для волновой функции частицы (3.2), получаем
aa
2
00
2nx1 2n x a
xxsindxx1 cos dx .
aaa a2
ππ
ππππ
ππ
==−=
==−===−=
==−=
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
Этот результат физически достаточно очевиден. Частица движется в пространстве
между непроницаемыми стенками ямы (
х
= 0 и
х
=
а
), отражаясь от них. Поэтому
среднее значение координаты частицы должно соответствовать центру ямы.
б) Аналогично, используя выражение (2.2) для оператора
x
ˆ
p
, находим среднее
значение проекции импульса
a
*
n
xnxn n
0
a
a
2
2
n
0
0
ˆ
p (x){p (x)}dx (x) dx
ix
nx
dx sin 0
2i x ia a
Ψ
ΨΨ
Ψ
ΨΨ Ψ
ΨΨ ΨΨΨ Ψ
ΨΨ Ψ
Ψ
ΨΨ
Ψ
π
ππ
π
+∞
+∞+∞
+∞
−∞
−∞−∞
−∞
∂
∂∂
∂
===
======
===
∂
∂∂
∂
∂
∂∂
∂
== =
== === =
== =
∂
∂∂
∂
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
∫
∫∫
∫
!
!!
Отметим, что значение <
p
x
>=0 для частицы в яме получается и в классической
механике. Для классической частицы этот результат очевиден, так как частица
движется вдоль оси
х
, отражаясь от стенок ямы, а ее импульс направлен то в одну,
то в другую, противоположную, сторону. Поэтому среднее значение проекции
импульса частицы на ось
х
оказывается равным нулю.
в) Найдем теперь среднее значение квадрата импульса <
p
2
>.
Поскольку мы имеем дело с одномерным случаем, из (2.3) следует, что
2
22 2
x
2
ˆˆ
pp .
x
∂
∂∂
∂
==−
==−==−
==−
∂
∂∂
∂
!
Очевидно, что, хотя среднее значение проекции импульса <
p
x
> равно нулю,
среднее значение квадрата импульса <
p
2
> у движущейся частицы должно быть
отличным от нуля. Какое же в среднем значение квадрата импульса будет
получено в серии измерений? Согласно (1.5),
Задача 2. Стационарное квантовое состояние частицы массой m0, движущейся в
одномерной потенциальной яме шириной а с абсолютно непроницаемыми
стенками, описывается волновой функцией
2 nπ x
sin , 0< x a,
где n=1, 2,... - квантовое число, определяющее состояние частицы.
Определите: а) среднее значение координаты частицы ; б) среднее значение
проекции импульса и в) среднее значение квадрата импульса частицы .
Решение. а) Согласно (1.5), учитывая, что Ψ n =Ψ n , находим
*
+∞ a
x = ∫ Ψ n ( x ){ xˆΨ n ( x )}dx = ∫Ψ n ( x ) ⋅ x ⋅Ψ n ( x )dx .
*
−∞ 0
Подставляя выражение для волновой функции частицы (3.2), получаем
nπ x 2nπ x
a a
2 1 a
x = ∫ x sin 2 dx = ∫ x 1 − cos dx = .
a0 a a0 a 2
Этот результат физически достаточно очевиден. Частица движется в пространстве
между непроницаемыми стенками ямы (х = 0 и х = а), отражаясь от них. Поэтому
среднее значение координаты частицы должно соответствовать центру ямы.
б) Аналогично, используя выражение (2.2) для оператора p̂x , находим среднее
значение проекции импульса
+∞ a
! ∂Ψ n
p x = ∫ Ψ n ( x ){ p xΨ n ( x )}dx = ∫Ψ n ( x )
*
ˆ dx =
−∞ 0 i ∂ x
a
! ∂Ψ n2
a
! nπ x
= ∫ dx = sin 2 =0
2i 0 ∂x ia a 0
Отметим, что значение =0 для частицы в яме получается и в классической
механике. Для классической частицы этот результат очевиден, так как частица
движется вдоль оси х, отражаясь от стенок ямы, а ее импульс направлен то в одну,
то в другую, противоположную, сторону. Поэтому среднее значение проекции
импульса частицы на ось х оказывается равным нулю.
в) Найдем теперь среднее значение квадрата импульса .
Поскольку мы имеем дело с одномерным случаем, из (2.3) следует, что
∂2
pˆ 2 = ˆp x2 = − ! 2 .
∂x 2
Очевидно, что, хотя среднее значение проекции импульса равно нулю,
среднее значение квадрата импульса у движущейся частицы должно быть
отличным от нуля. Какое же в среднем значение квадрата импульса будет
получено в серии измерений? Согласно (1.5),
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 4
- 5
- 6
- 7
- 8
- …
- следующая ›
- последняя »
