Измерение физических величин в квантовых системах - 5 стр.

                                                      p̂ 2   !2
                                             Êκ =         =    ∆.                                           (2.13)
                                                     2m0 2m0
Оператор потенциальной энергии представляет собой оператор умножения на
функцию U=U(х,у,z), определяющую потенциальную энергию частицы в
стационарном силовом поле, т. е.
                                 Û = U ( x , y , z ).             (2.14)
Оператор полной энергии в квантовой механике называют оператором функции
Гамильтона или просто гамильтонианом. Гамильтониан Ĥ определяется как
сумма операторов кинетической и потенциальной энергий и имеет вид
                                ˆ   ˆ    ˆ      !2
                                H = Eκ + U = −     ∆ + U( x , y , z ).                                       (2.15)
                                               2m0
Выражение (2.15) можно использовать и в случае нестационарных силовых полей,
понимая под Û = U( x , y , z ,t ) силовую функцию, связанную с силой, действующей
                                   "
на частицу, соотношением F = −∇ U .

                     3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ.
Задача 1. Докажите, что оператор проекции импульса p̂x является линейньм
самосопряженным (эрмитовым) оператором.
                                                                        ∂   ! ∂
Решение.      Линейность         оператора              p̂ x = − i !      ≡          очевидна,         поскольку
                                                                       ∂x i ∂x
дифференцирование является линейной операцией. Покажем, что оператор p̂x
является эрмитовым оператором, т. е. для него выполняется условие
самосопряженности
                           ∫
                     Ψ * ( ˆp Ψ )dV = Ψ ( pˆ Ψ )* dV .
                                 1       x     2           ∫     2
                                                                    (3.1)
                                                                        x   1
                           RN                             RN
Здесь Ψ1 и Ψ2 - две произвольные функции, для которых выполнены все условия,
накладываемые на волновые функции. В частности, эти функции должны
обращаться в нуль вместе с производными на границе рассматриваемой области.
Для упрощения выкладок ограничимся рассмотрением одномерного случая, когда
функции Ψ1 и Ψ2 зависят только от одной пространственной координаты х. Тогда
имеем
                 +∞                    +∞ +∞                                         +∞
                                     !        ∂Ψ 2     !                    +∞            ∂Ψ 1*
           I = ∫ Ψ ( ˆp xΨ 2 )dx =
                      *
                      1                ∫ Ψ 1*      dx = Ψ 1* Ψ 2               + i! ∫ Ψ 2       dx .
                 −∞                  i −∞      ∂x       i                   −∞
                                                                                   −∞      ∂x
Поскольку, согласно условию, Ψ1(±∞)=Ψ2(±∞)=0, то
            +∞                +∞                          +∞                     *  +∞
                   ∂Ψ 1*             ∂Ψ 1*                           ∂Ψ 1 
      I = i! ∫ Ψ 2       dx = ∫ Ψ 2  i !           dx = ∫ Ψ 2  − i !       dx = ∫ Ψ 2 ( ˆpxΨ 1 )* dx .
            −∞
                    ∂x        −∞         ∂x             −∞            ∂x        −∞

Таким образом, показано выполнение условия самосопряженности
                                +∞                        +∞

                                ∫Ψ       ( pˆ xΨ 2 )dx = ∫ Ψ 2 ( pˆ xΨ 1 )* dx
                                     *
                                     1
                                −∞                        −∞

для оператора проекции импульса.