Измерение физических величин в квантовых системах - 3 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ
Приведем выражения для операторов основных физических величин квантовой
механики:
Операторы координат
. Действие этих операторов на волновую функцию
сводится к умножению ее на координату. В операторной форме это можно
записать в виде равенств
ˆˆ
ˆ
xx,yy,zz.
===
======
===
(2.1)
Отметим, что операторами умножения на соответствующие координаты являются
также операторы координат в цилиндрической и сферической системах
координат.
Операторы проекций импульса.
Эти операторы связаны с
дифференцированием по соответствующим координатам, причем
xyz
ˆˆˆ
pi,pi,pi.
xyz
∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂
=− =− =−
=− =− =−=− =− =−
=− =− =−
∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂
!!!
(2.2)
Используя известное соотношение классической механики, можно построить
оператор квадрата импульса по правилу
(
((
()
))
)
(
((
()
))
)
(
((
()
))
)
222
2
2
2
22
xyz
222
ˆˆˆˆ
pppp ,
xyz



∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂
=++=− ++
=++=− ++=++=− ++
=++=− ++



∂∂∂
∂∂∂∂∂∂
∂∂∂



!
(2.3)
или, используя оператор Лапласа,
22
ˆ
p
∆
∆∆
∆
=−
=−=−
=−
!
(2.4)
Операторы проекций момента импульса. Используя классическую формулу для
момента импульса материальной точки
L[r,p],
=
==
=
"
""
можно построить операторы
проекций момента импульса по правилам
xzy
yxz
zyx
ˆ
ˆˆ ˆ
ˆ
Lypzp iy z ,
zy
ˆ
ˆˆˆ
ˆ
Lzpxp iz x ,
xz
ˆ
ˆˆ ˆˆ
Lxpyp ix y .
yx



∂∂
∂∂∂∂
∂∂
=−=− −
=−=− −=−=− −
=−=− −



∂∂
∂∂∂∂
∂∂



∂∂
∂∂∂∂
∂∂



=−=− −
=−=− −=−=− −
=−=− −



∂∂
∂∂∂∂
∂∂






∂∂
∂∂∂∂
∂∂
=−=− −
=−=− −=−=− −
=−=− −



∂∂
∂∂∂∂
∂∂



!
!
!
(2.5)
В сферической системе координат
x
y
z
ˆ
Lisin ct
g
cos ,
ˆ
Licos ct
g
sin ,
ˆ
Li .
ϕθϕ
ϕθϕϕθϕ
ϕθϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
ϕθϕ
ϕθϕϕθϕ
ϕθϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
θ
ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ



∂∂
∂∂∂∂
∂∂
=− +
=− +=− +
=− +



∂∂
∂∂∂∂
∂∂



∂∂
∂∂∂∂
∂∂
=− −
=− −=− −
=− −



∂∂
∂∂∂∂
∂∂
∂
∂∂
∂
=−
=−=−
=−
∂
∂∂
∂
!
!
!
(2.6)
Оператор
z
ˆ
L
имеет дискретный спектр собственных значений:
z
Lm,
=
==
=
!
где
m0,1, 2,...,
=±±
=±±=±±
=±±
(2.7)
каждому из которых соответствует собственная функция 
      2. ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН ОПЕРАТОРАМИ
Приведем выражения для операторов основных физических величин квантовой
механики:
     Операторы координат. Действие этих операторов на волновую функцию
сводится к умножению ее на координату. В операторной форме это можно
записать в виде равенств
                             xˆ = x, ˆy = y ,zˆ = z.                 (2.1)
Отметим, что операторами умножения на соответствующие координаты являются
также операторы координат в цилиндрической и сферической системах
координат.
     Операторы проекций импульса. Эти операторы связаны с
дифференцированием по соответствующим координатам, причем
                                      ∂                 ∂               ∂       (2.2)
                       pˆ x = − i !      , ˆp y = − i !    , ˆpz = − i ! .
                                      ∂x                ∂y              ∂z
Используя известное соотношение классической механики, можно построить
оператор квадрата импульса по правилу
                                                               ∂2 ∂2  ∂2 
                ˆp 2 = ( ˆp x ) + ( ˆp y ) + ( ˆp z ) = − ! 2  2 + 2 + 2  ,   (2.3)
                               2          2          2

                                                               ∂x ∂y  ∂z 
или, используя оператор Лапласа,
                                                    − 2∆
                                             p̂ 2 = −!                  (2.4)
Операторы проекций момента импульса. Используя классическую формулу для
                                      "   " "
момента импульса материальной точки L = [ r , p ], можно построить операторы
проекций момента импульса по правилам
                                                          ∂       ∂ 
                      Lˆ x = ˆyp ˆ z − zˆ ˆp y = − i !  y    − z     ,
                                                        ∂z       ∂y 
                                                           ∂       ∂ 
                              ˆ ˆ x − xˆ ˆp z = − i !  z
                      Lˆ y = zp                               − x     ,        (2.5)
                                                        ∂x        ∂z 
                                                           ∂       ∂ 
                      Lˆ z = xˆ ˆp y − ˆy ˆp x = − i !  x     − y      .
                                                         ∂y       ∂x 
В сферической системе координат
                                            ∂               ∂ 
                       L̂ x = − i !  sin ϕ    + ctgθ cos ϕ        ,
                                           ∂θ              ∂ ϕ 
                                            ∂               ∂ 
                       L̂ y = − i !  cos ϕ    − ctgθ sin ϕ     ,              (2.6)
                                           ∂θ              ∂ϕ 
                                       ∂
                       L̂z = − i !       .
                                      ∂ϕ
Оператор L̂z имеет дискретный спектр собственных значений:
                         Lz = m! , где m = 0 , ±1, ±2, ...,                     (2.7)
каждому из которых соответствует собственная функция

Страницы