Измерение физических величин в квантовых системах - 4 стр.

                                              1                                                           (2.8)
                                      Ψ      m   (ϕ ) =
                                                  e im ϕ .
                                             2π
Эти собственные функции ортонормированы, так что
                    2π
                                               1, если n = m
                    ∫0 m
                       Ψ     ϕ Ψ     ϕ    ϕ =
                         *
                           (   ) n (   )d     
                                              0 , если n ≠ m .
Оператор квадрата момента импульса L̂2 определяется выражением
                                                                                                2
                                                       2               2
       ˆL2 = Lˆ 2 + Lˆ 2 + Lˆ 2 = − ! 2  z ∂ − y ∂  +  x ∂ − z ∂  +  y ∂ − x ∂              
                                                                                                    .    (2.9)
                x      y      z                                                   
                                              ∂y    ∂z   ∂z       ∂x   ∂x       ∂y 
                                                                                                 
В сферической системе координат оператор Лапласа
                                                                 1
                                             ∆ = ∆r +               ∆ θ ,ϕ
                                                                 r2
может быть записан с выделением его радиальной части:
                                                           1 ∂  2 ∂ 
                                             ∆r =                  r
                                                          r 2 ∂r  ∂r 
и угловой части:
                                       1 ∂            ∂    1    ∂
                           ∆θ ,ϕ =             sin θ     +          .
                                     sin θ ∂θ        ∂θ  sin θ ∂ϕ 2
                                                              2


В таких обозначениях оператор квадрата момента импульса в сферической
системе координат преобразуется к виду
                               L̂ 2 = − ! 2 ∆ θ ,ϕ .            (2.10)
                                        2
Спектр собственных значений оператора L̂ является дискретным
                                                                         (2.11)
                                     L2 = ! 2 l( l + 1 ),l = 0 ,1, 2 , ...,
причем каждому собственному значению с заданным значением l соответствует
(2l+1) собственных функций Ψ l ,m = Yl ,m ( θ ,ϕ ) , отличающихся значениями
целочисленного параметра m=0, ±1,±2, ..., ±l. Каждому значению т соответствуют
определенные значения проекции момента импульса Lz, которые выражаются
формулой (2.7).
Функции Yl ,m ( θ ,ϕ ) называются шаровыми (или сферическими) функциями.
Приведем явный вид нескольких первых нормированных сферических функций:
                               1                          3                    3                         (2.12)
                     Y0 ,0 =          ,Y1 ,0 =              cosθ ,Y1 ,±1 =       sin θ e ± iϕ
                               4π                        4π                   8π
Эти функции нормированы условием
                                      2π π

                                       ∫ ∫Y             Yl ,m sin θ dθ d ϕ = 1.
                                                  *
                                                 l ,m
                                       0 0

Операторы энергий.
Оператор кинетической энергии определим, пользуясь классической формулой
                                                                                                           p2
связи кинетической энергии частицы массой m0 и ее квадрата импульса: Eκ =                                     .
                                                                                                          2m0
Аналогичное соотношение связывает операторы в квантовой механике. Поэтому,
с учетом (2.4), получаем