Измерение физических величин в квантовых системах - 2 стр.

III. Единственным возможным результатом измерения наблюдаемой физической
величины ƒ может быть только собственное значение ƒn соответствующего ей
оператора ΦΦ̂ .
       Собственные значения оператора Φ Φ̂ находятся из решения уравнения
                                  ˆ
                                 ΦΨ                                       (1.1)
                                      n = f nΨ n .
Это уравнение имеет набор собственных функций Ψn и собственных значений ƒn.
Вслучае дискретного спектра физической величины этот набор представляет
собой счётное множество (n = 1, 2, …).
       Система собственных функций оператора любой физической величины
предстовляет собой полную ортонормированную систему функций. Поэтому
любую волновую функцию Ψ всегда можно разложить в ряд по этим
собственным функциям:
                                 Ψ n = ∑ C nΨ n ,                         (1.2)
                                                  n

причём коэффициенты этого разложения определяются по формуле:
                                                                          (1.3)
                                 Cn =        ∫ Ψ dV .
                                              Ψ *
                                                n
                                             RN
Здесь интегрирование ведётся по всей области RN изменения пространственных
переменных разности N. При использовании декартовой системы координат в
одномерных задачах dV=dx для N=1, в двумерных задачах dV=dxdy для N=2 и в
трёхмерных задачах dV=dxdydz для N=3.
     Если для некоторого квантового состояния волновая функция Ψ не является
собственной функцией оператора Φ Φ̂ , то в этом квантовом состоянии физическая
величина ƒ не имеет определенного значения. Вероятность Рn того, что при
измерении физической величины ƒ в этом квантовом состоянии будет получено
численное значение ƒn, находится по формуле
                                  P =C ,
                                            2                             (1.4)
                                         n             n

а среднее значение (математическое ожидание) физической величины по
результатам большого числа измерений можно определить как
                        f = ∑ Pn f n = ∫ Ψ * ( ΦΨ
                                               ˆ )dV .          (1.5)
                                 n                    RN
Необходимым и достаточным условием возможности одновременного точного
измерения двух физических величин а и b является коммутативность
соответствующих им операторов Â и B̂ , т. е. выполнение равенства
                             ˆ B
                            A,       ˆ ˆ − BA
                                ˆ  ≡ AB    ˆ ˆ = 0.               (1.6)
                                    
                      ˆ Bˆ  двух операторов не равен нулю, то соответствующие
Если же коммутатор  A,   
им две физические величины не могут быть измерены одновременно точно. Для
таких физических величин справедливы соотношения неопределенностей вида
∆a⋅∆b>0 утверждающие, что обе неопределенности ∆a и ∆b не могут
одновременно стремиться к нулю.