Измерение физических величин в квантовых системах - 7 стр.

                      +∞                                              a
                                                                 2!2       nπ x ∂ 2       nπ x 
            p   2
                    = ∫ Ψ ( x ){ pˆ 2Ψ n( x )}dx = −
                           *
                                                                     ∫ sin             sin        dx =
                                                                                   2 
                                                                                            a 
                           n
                      −∞
                                                                  a 0       a ∂x 
                               a
            2 ! 2 n 2π 2     2 nπ x      2 ! 2 n 2π 2 a
             a a 2 ∫0
          =              sin        dx =                .
                                a         a a2 2
Таким образом, в состоянии частицы с квантовым числом n
                                      π 2 !2 2
                                 p = 2 n .
                                  2

                                       a
                            2
     В том, что значение 
 найдено правильно, можно убедиться и другим
способом. Действительно, покажем, что волновая функция (3.2) является
                                   2
собственной функцией оператора p̂ . Подействовав на неё оператором квадрата
импульса
                                   ∂2      2      nπ x  π 2 ! 2 n 2          2     nπ x π 2 ! 2 n 2
      p̂ x2Ψ n ( x ) = − ! 2                 sin    2 
                                                          =                      sin     =            Ψ n ( x ),
                                   ∂x 2      a      a       a2                a      a      a2
                                                       
мы получим в результате такого действия ту же волновую функцию, умноженную
                   π 2 !2 n2
на некоторое число           , которое является собственным значением оператора
                      a2
квадрата импульса.
       Согласно общим положениям квантовой механики, этот результат
показывает, что в квантовых состояниях, описываемых волновыми функциями
(3.2), при любых значениях n квадрат импульса частицы имеет определенное
значение, равное соответствующему собственному значению оператора p̂ 2 .
Поэтому при измерении p̂ 2 всегда будет получаться одно и то же значение
                                      π 2 !2 n2
                                   2
                                                      p =                 .
                                                                 a2
Следовательно, эта же величина определит и среднее значение квадрата импульса
в серии измерений, то есть
                                                                π 2!2 2
                                                       p   2
                                                               = 2 n .
                                                                 a

Задача 3. Частица в некоторый момент времени находится в состоянии,
описываемом волновой функцией, координатная часть которой имеет вид
                                                    x2                                                           (3.3)
                                    Ψ ( x ) = Aexp  − 2 + ikx  ,            −∞ < x < +∞ ,
                                                    a         
где А и а - некоторые постоянные; а k - заданный параметр, имеющий
размерность обратной длины. Определите среднее значение проекции импульса
 частицы в этом состоянии.
Решение. Так как для волновой функции (3.3)
                                                     ∂Ψ            2! 
                                     p̂ xΨ = − i !       =  k ! + i 2 x Ψ ( x ),
                                                      ∂x           a    
по правилу (1.5) нахождения среднего значения имеем