Составители:
2
0
1
2
0
4
r,
me
πε
πεπε
πε
=
==
=
!
для полученных значений
<U>
и
<E
K
>
действительно имеет место равенство
422
0
K 1
2222
0 1 0 1 0
mee
UE E.
4r2mr 32
πε π ε
πε π επε π ε
πε π ε
+=− + =− =
+=− + =− =+=− + =− =
+=− + =− =
!
!
Задача 6. Определите возможные результаты измерений квадрата модуля
момента импульса
L
2
и его проекции
L
z
на выделенное направление для частицы,
находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией
(,) Asincos,
Ψ
θ
ϕ
θ
ϕ
Ψ
θ
ϕ
θ
ϕΨ
θ
ϕ
θ
ϕ
Ψ
θ
ϕ
θ
ϕ
=
==
=
(3.6)
где
θ
- полярный угол;
ϕ
- азимутальный угол; А - некоторая нормировочная
постоянная.
Решение. В сферической системе координат уравнение Шредингера допускает
разделение переменных. В этом случае оказывается возможным исследовать
зависимость волновой функции от угловых переменных, отвлекаясь от ее
зависимости от радиальной переменной. Именно такой случай рассматривается в
этой задаче.
Условие нормировки для волновой функции
Ψ
(
θ
,
ϕ
) имеет вид
2
*
00
(,)(,)sindd 1.
ππ
ππππ
ππ
ΨθϕΨθϕ θθϕ
ΨθϕΨθϕ θθϕΨθϕΨθϕ θθϕ
ΨθϕΨθϕ θθϕ
=
==
=
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
Подставляя в эту формулу волновую функцию вида (3.6), получаем
2
22 3
00
A cos d sin d 1.
ππ
ππππ
ππ
ϕϕ θθ
ϕϕ θθϕϕ θθ
ϕϕ θθ
=
==
=
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
Поскольку
2
23
00
4
cos d , a sin d ,
3
ππ
ππππ
ππ
ϕϕ π θθ
ϕϕ π θθϕϕ π θθ
ϕϕ π θθ
==
====
==
∫∫
∫∫∫∫
∫∫
для константы А получаем
3
A.
4
π
ππ
π
=
==
=
Используя формулу Эйлера, представим cos
ϕ
в комплексной форме:
ii
1
cos ( e e ).
2
ϕϕ
ϕϕϕϕ
ϕϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
−
−−
−
=+
=+=+
=+
Тогда нормированную волновую функцию (3.6) можно записать в виде
разложения в ряд по собственным функциям (2.1 2) оператора
2
ˆ
L
:
ii i
i
1, 11, 1
3 11 13
(,) sin e e sine
422 8
2
1 3 11
sine Y(,) Y(,).
8
222
ϕϕ ϕ
ϕϕ ϕϕϕ ϕ
ϕϕ ϕ
ϕ
ϕϕ
ϕ
Ψ
θϕ θ θ
Ψ
θ
ϕ
θθ
Ψ
θ
ϕ
θθ
Ψ
θϕ θ θ
ππ
ππππ
ππ
θθϕθϕ
θθϕθϕθθϕθϕ
θθϕθϕ
π
ππ
π
−
−−
−
−
−−
−
+−
+−+−
+−
=+=+
=+=+=+=+
=+=+
+=+
+=++=+
+=+
Поскольку в этом разложении присутствуют только собственные функции
оператора
2
ˆ
L
, отвечающие значениям
l
=1, с учетом (2.11) это означает, что
результатом измерения квадрата момента импульса всегда будет одно и то же
4πε 0 ! 2
r1 = ,
m0 e 2
для полученных значений и действительно имеет место равенство
e2 !2 m0 e 4
U + EK = − + = − = E1 .
4πε 0 r1 2m0 r12 32π 2ε 02 ! 2
Задача 6. Определите возможные результаты измерений квадрата модуля
момента импульса L2 и его проекции Lz на выделенное направление для частицы,
находящейся в состоянии, описываемом волновой функцией
Ψ ( θ ,ϕ ) = A sinθ cos ϕ , (3.6)
где θ - полярный угол; ϕ - азимутальный угол; А - некоторая нормировочная
постоянная.
Решение. В сферической системе координат уравнение Шредингера допускает
разделение переменных. В этом случае оказывается возможным исследовать
зависимость волновой функции от угловых переменных, отвлекаясь от ее
зависимости от радиальной переменной. Именно такой случай рассматривается в
этой задаче.
Условие нормировки для волновой функции Ψ(θ,ϕ) имеет вид
2π π
∫ ∫Ψ ( θ ,ϕ )Ψ ( θ ,ϕ ) sinθ dθ dϕ = 1.
*
0 0
Подставляя в эту формулу волновую функцию вида (3.6), получаем
2π π
A2 ∫ cos 2 ϕ dϕ ∫ sin3 θ dθ = 1.
0 0
Поскольку
2π π
4
∫ cos ϕ dϕ = π , a ∫ sin 3 θ dθ =
2
,
0 0
3
3
для константы А получаем A = .
4π
Используя формулу Эйлера, представим cosϕ в комплексной форме:
1 iϕ
cos ϕ = ( e + e − iϕ ).
2
Тогда нормированную волновую функцию (3.6) можно записать в виде
разложения в ряд по собственным функциям (2.12) оператора L̂2 :
3 1 1 1 3
Ψ ( θ ,ϕ ) = sinθ e iϕ + e − iϕ = sinθ e iϕ +
4π 2 2 2 8π
1 3 1 1
+ sinθ e − iϕ = Y1,+1 ( θ ,ϕ ) + Y1 ,−1 ( θ ,ϕ ).
2 8π 2 2
Поскольку в этом разложении присутствуют только собственные функции
оператора L̂2 , отвечающие значениям l=1, с учетом (2.11) это означает, что
результатом измерения квадрата момента импульса всегда будет одно и то же
