Составители:
12
Поскольку в задаче имеется малый параметр (η=0,01<<1), то ответ можно существенно упро-
стить. Используя разложение в ряд Тейлора
()
3
2
3
11
2
−η ≈ − η
,
получаем
3
0 015
2
N
,
N
∆
=η=
.
Задача 9. Найдите коэффициент сжимаемости (коэффициент упругости) электронного газа в
меди при температуре T=0 K.
Решение. Коэффициент сжимаемости, или упругости газа, характеризует относительное изме-
нение объема газа при изменении давления и определяется выражением
()
dV
1dV
Vd d
ln
pp
α=− =−
,
где V – объем газа, p – давление. Поскольку число частиц газа N остается постоянным, то при
сжатии газа его концентрация будет возрастать, причем
V где const
V
N
n , ln ln N ln n, ln N
==− =
.
В соответствии с этим
()()
dV d
dd
ln ln n
pp
α=− =
.
Из кинетической теории известно, что давление, которое оказывает газ на стенку, определяется
средней энергией поступательного движения частиц этого газа <E>
2
3
pnE
=<>
.
Для вырожденного электронного газа при T=0 K (см. задачу 5)
()
3
0
5
F
EE
<>=
,
или, с учетом (3)
()
22
2
3
0
3
3
52
En
m
<>= π
"
.
Поэтому зависимость давления электронного газа p от его концентрации n при T=0 имеет вид
() ()
5
22
22
22
3
33
00
23 1
33
352 5
pn n n
mm
=π=π
""
.
Отсюда
()
3
33
2
5
2
0
55
3
2
53
m
npAp
=π =
"
,
где A=const. Таким образом,
3
5
ln n ln A ln p=+ .
Подставляя это соотношение в выражение для коэффициента сжимаемости, получаем
() ()
dd
331
d5d5
ln n ln p
ppp
α= = =
.
Воспользовавшись найденной выше зависимостью p от n, приходим к выражению
() ()
1
55
22
2
22
0
33
33
2
0
331
33
55
m
nn
m
−
−
−
α= π = π
"
"
.
12
Поскольку в задаче имеется малый параметр (η=0,01<<1), то ответ можно существенно упро-
стить. Используя разложение в ряд Тейлора
3
3
(1 − η)2 ≈ 1 − η,
2
получаем
∆N 3
= η = 0 ,015 .
N 2
Задача 9. Найдите коэффициент сжимаемости (коэффициент упругости) электронного газа в
меди при температуре T=0 K.
Решение. Коэффициент сжимаемости, или упругости газа, характеризует относительное изме-
нение объема газа при изменении давления и определяется выражением
1 dV d (ln V )
α=− =− ,
V dp dp
где V – объем газа, p – давление. Поскольку число частиц газа N остается постоянным, то при
сжатии газа его концентрация будет возрастать, причем
N
n = , ln V = ln N − ln n, где ln N = const .
V
В соответствии с этим
d (ln V ) d (ln n )
α=− = .
dp dp
Из кинетической теории известно, что давление, которое оказывает газ на стенку, определяется
средней энергией поступательного движения частиц этого газа
2
p= n< E >.
3
Для вырожденного электронного газа при T=0 K (см. задачу 5)
3
< E >= EF (0 ) ,
5
или, с учетом (3)
3 "2 2
< E >=
5 2m0
( )
3π n 3 .
2
Поэтому зависимость давления электронного газа p от его концентрации n при T=0 имеет вид
2 2 5
2 3 "2 1 "2
p= n
3 5 2m0
(3π n ) = 5 m (3π ) n .
2 3 2 3 3
0
Отсюда
3
m0 2 3
2 5 3 3
n = 5 2 (3π ) p = Ap
5 5,
"
где A=const. Таким образом,
3
ln n = ln A + ln p .
5
Подставляя это соотношение в выражение для коэффициента сжимаемости, получаем
d (ln n ) 3 d (ln p ) 3 1
α= = = .
dp 5 dp 5p
Воспользовавшись найденной выше зависимостью p от n, приходим к выражению
−1
3 1 "2 2 3 3
2 5 2 5
3m0
(3π ) n = "2 (3π ) n .
−
2 −3
α= 3
5 5 m0
