Составители:
11
()
max
0
20
v
F
E
m
=
,
то
max
3
vv
4
<>=
.
Подставляя численные значения E
F
(0) и m, получаем
<v>=1,1⋅10
6
м/с.
Способ 2. Воспользуемся функцией распределения электронов по скоростям F(v). Тогда
()
()
0
0
vvv
v
vv
Fd
Fd
∞
∞
⋅
<>=
∫
∫
,
где F(v), согласно (15), при T=0 имеет вид
()
3
2
0
max
23
max
v v v
v
0 v v
m
,
F
,
<
=
π
>
"
.
Интегрируя, получаем
max
max
v
2
4
max
0
max
v
3
2
max
0
1
vv v
v
3
4
vv
1
4
v
vv
3
d
d
⋅
<>= = =
∫
∫
.
Задача 8. Найдите относительное число
N
N
∆
свободных электронов в металле, энергия которых
отличается от энергии Ферми не более чем на η=1,0 %, если температура металла T=0.
Решение. Число электронов dN(E), энергия которых лежит в интервале от E до E+dE, равно
dN(E)=V⋅dn(E),
где V – объем металла. Принимая во внимание выражение для F(E) (14), находим, что
3
1
2
0
2
23
2
dV d
m
NEE
=
π
"
.
Относительное число таких электронов определяется выражением
() ()
3
1
2
0
2
23
dd
2
d
V
NE NE
m
EE
Nnn
==
⋅π"
.
Поскольку при T=0 энергия электронов E≤E
F
, то искомая величина получается интегрировани-
ем данного выражения по энергии в пределах от E
F
(1-η) до E
F
()
()
()
33
13
3
22
00
22
2
23 23
1
d
22
2
d11
3
F
F
E
F
E
NE
mm
N
EE E
NN n n
−η
∆
== = −−η
ππ
∫∫
""
.
Подставляя сюда значение E
F
, определяемое соотношением (3)
()
2
2
2
3
0
2
2
F
En
m
=π
"
,
получаем
()
3
2
11
N
N
∆
=− −η
.
11
2 EF ( 0 )
v max = ,
m0
то
3
< v >=
v max .
4
Подставляя численные значения EF(0) и m, получаем
=1,1⋅106 м/с.
Способ 2. Воспользуемся функцией распределения электронов по скоростям F(v). Тогда
∞
∫ v ⋅ F ( v )dv
< v >= 0
∞
,
∫ F ( v ) dv
0
где F(v), согласно (15), при T=0 имеет вид
m03 2
v , v < v max
F ( v ) = π 2 "3 .
0, v > v max
Интегрируя, получаем
vmax
1 4
∫ v ⋅ v 2 dv
v max
3
< v >= 0vmax =4 = v max .
1 3
v max 4
∫
2
v d v 3
0
∆N
Задача 8. Найдите относительное число свободных электронов в металле, энергия которых
N
отличается от энергии Ферми не более чем на η=1,0 %, если температура металла T=0.
Решение. Число электронов dN(E), энергия которых лежит в интервале от E до E+dE, равно
dN(E)=V⋅dn(E),
где V – объем металла. Принимая во внимание выражение для F(E) (14), находим, что
3
2m 2 1
dN = V 2 30 E 2 dE .
π"
Относительное число таких электронов определяется выражением
3
dN ( E ) dN ( E ) 2m 2 1
= = 2 3 0 E 2 dE .
N V⋅n π"n
Поскольку при T=0 энергия электронов E≤EF, то искомая величина получается интегрировани-
ем данного выражения по энергии в пределах от EF(1-η) до EF
3 3
∆N dN ( E ) E
F
2m02 12 2 2m02 3
3
=∫ = ∫ E d E = 1 − (1 − η ) 2 E2 .
F
N N EF (1−η)
π2 "3n 3 π 2 "3 n
Подставляя сюда значение EF, определяемое соотношением (3)
2
"2
EF =
2m0
( 2 π 2
n ) 3
,
получаем
∆N 3
= 1 − (1 − η) 2 .
N
