Квантовая статистика Ферми-Дирака. Электронный газ. Мартинсон Л.К - 10 стр.

                                                                                                            10
                                                                     2π"
                                                       λ Б min =
                                                                     pmax
Максимальным импульсом при T=0 будут обладать электроны с энергией, равной EF(0). Таким
образом,
                                                                                1
                                              pmax = ( 2m0 EF ( 0 )) 2 .
Подставляя в это выражение значение EF(0), определяемое соотношением (3), получаем
                                                                            1
                                            "2               
                                                            2 2                   1
                             pmax =  2m0
                                           2m0
                                                ( 3π  2
                                                        n ) 3
                                                                 =  " ( 3π 2
                                                                              n ) 3
                                                                                    .
                                                             
Поскольку кристаллическая решетка металла является простой кубической с периодом a, то
                                                      1
                                                n= 3 .
                                                      a
В силу этого
                                                                1
                                                   "
                                           pmax = 3π .
                                                   a
                                                             2 3
                                                                    ( )
Следовательно, минимальная дебройлевская длина волны свободных электронов в металле при
T=0 равна
                                              2π"             2πa
                                 λ Б min =          1
                                                       =           1
                                                                      ≈ 2a .
                                           "
                                           a
                                             (3π ) (3π )
                                                 2 3            2 3



Полученный результат означает, что длина волны де Бройля свободных электронов в металле
превышает среднее расстояние между электронами. Это служит еще одним подтверждением
того, что газ свободных электронов в металле является вырожденным.
Задача 7. Найдите среднюю скорость свободных электронов в металле при T=0, если энергия
Ферми для этого металла EF(0)=6 эВ.
Решение.
Способ 1. Воспользуемся функцией распределения электронов по энергиям F(E). Скорость сво-
бодных электронов в металле v связана с их кинетической энергией E соотношением
                                          2E        2
                                              v=
                                               =         E.
                                          m0       m0
Среднее значение скорости электронов может быть получено с помощью выражения (8), если в
нем положить f(E)=v(E):
                                        ∞         1
                                             2 2
                                        ∫0 m0 F ( E ) dE
                                                E
                                 < v >=     ∞
                                                            .
                                             ∫ F ( E ) dE      0
Так как при T=0 функция распределения F(E) является ступенчатой функцией (см. (14)), то, за-
меняя верхний предел в интегралах на EF(0), получаем
                                                   3
                            EF ( 0 )      1                1
                                           2m 2                         1
                       2      ∫        E ⋅ 2 30 E 2 dE
                                          2
                                          π"                         2 2 ( F ( ))
                                                                            E 0
                                                                                       2

                                                                                           3 2 EF ( 0 )
                < v >=         0
                                               3
                                                                   =                   3
                                                                                         =              .
                       m0                                            m0 2                  4    m0
                                EF (0 )
                                2m02 2
                                                       1
                                                                          ( EF ( 0 ) ) 2

                            ∫0 π2 "3 E dE                               3

Поскольку при абсолютном нуле температуры максимальная скорость электронов