Квантовая статистика Ферми-Дирака. Электронный газ. Мартинсон Л.К - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

9
()
()
Ф-Д
0
Ф-Д
0
Eg E n dE
E
gE n dE
∞
∞
<>
<>=
<>
∫
∫
.
Поскольку T=0, то функция Ферми – Дирака <n>
Ф-Д
представляет собой ступенчатую функцию
(4), равную единице при E<E
F
(0) и нулю при E>E
F
(0). Поэтому интегрирование по энергии сле-
дует проводить лишь в интервале (0, E
F
(0)). Плотность квантовых состояний g(E) в соответст-
вии с (12) есть
3
1
2
2
23
2
где const
m
g( E ) CE , C
===
π
"
.
Подставляя <n>
Ф-Д
и g(E) в выражение для <E>, получаем
()
()
()
0
3
2
0
0
1
2
0
3
0
5
F
F
E
F
E
CEdE
EE
CEdE
<> =
∫
∫
.
Средняя энергия электронов в случае классического электронного газа
КЛ
3
2
EkT
<>=
Поскольку по условию задачи <E>=<E>
КЛ
, то температура Т, при которой выполняется это ра-
венство, равна
()
0
2
5
F
E
T
k
=
.
Подставляя в это выражение значение E
F
(0) для серебра, равное 5,5 эВ, получаем
Т≅2,4⋅10
4
К.
Отметим еще одно важное обстоятельство. При нагревании вырожденного газа лишь очень не-
значительная часть электронов изменяет свою энергию. Это те электроны, энергия которых ле-
жит в интервале (E
F
(0) – kT, E
F
(0)). Так как вплоть до температуры плавления металла выполня-
ется условие
kT<<E
F
(0),
то доля электронов, изменяющих свою энергию при нагреве металла, оказывается очень малой.
Поэтому средняя энергия электронов при изменении температу ры меняется столь незначитель-
но, что этими изменениями можно пренебречь и считать, что
()
3
0
5
F
EE
<>≈
,
т.е. что <E> не зависит от температуры.
Таким образом, из квантовой теории следует, что электронный газ в металле, в отличие от клас-
сического газа, для которого
КЛ
3
2
EkT
<>=
, не обладает теплоемкостью. Этот результат нахо-
дится в соответствии с экспериментальными данными по теплоемкости твердых тел.
Задача 6. Оцените минимальную дебройлевскую длину волны свободных электронов в металле
при T=0, считая, что металл содержит по одному свободному электрону на атом, а его решетка
является простой кубической с периодом a.
Решение. Поскольку дебройлевская длина волны λ
Б
частицы связана с ее импульсом p соотно-
шением
Б
2
p
π
λ=
"
, то 
                                                                                            9
                                           ∞

                                           ∫ Eg ( E ) < n >       Ф-Д   dE
                                 < E >=    0
                                            ∞
                                                                             .
                                            ∫ g (E ) < n >
                                            0
                                                                 Ф-Д    dE

Поскольку T=0, то функция Ферми – Дирака Ф-Д представляет собой ступенчатую функцию
(4), равную единице при EEF(0). Поэтому интегрирование по энергии сле-
дует проводить лишь в интервале (0, EF(0)). Плотность квантовых состояний g(E) в соответст-
вии с (12) есть
                                                                        3
                                       1
                                                    2m                  2
                            g( E ) = CE , где C =
                                       2
                                                         = const .
                                                   π2 "3
Подставляя Ф-Д и g(E) в выражение для , получаем
                                           E F (0 )    3
                                       C       ∫      E 2 dE
                                                                3
                                           0
                                           E F (0 )
                                                               = EF ( 0 ) .
                                                       1
                                                                5
                                       C       ∫
                                               0
                                                      E 2 dE

Средняя энергия электронов в случае классического электронного газа
                                                    3
                                          < E > КЛ = kT
                                                    2
Поскольку по условию задачи =КЛ, то температура Т, при которой выполняется это ра-
венство, равна
                                               2 EF ( 0 )
                                           T=             .
                                               5 k
Подставляя в это выражение значение EF(0) для серебра, равное 5,5 эВ, получаем
                                           Т≅2,4⋅104 К.
Отметим еще одно важное обстоятельство. При нагревании вырожденного газа лишь очень не-
значительная часть электронов изменяет свою энергию. Это те электроны, энергия которых ле-
жит в интервале (EF(0) – kT, EF(0)). Так как вплоть до температуры плавления металла выполня-
ется условие
                                            kT<≈             EF ( 0 ) ,
                                                        5
т.е. что  не зависит от температуры.
Таким образом, из квантовой теории следует, что электронный газ в металле, в отличие от клас-
                                       3
сического газа, для которого < E > КЛ = kT , не обладает теплоемкостью. Этот результат нахо-
                                       2
дится в соответствии с экспериментальными данными по теплоемкости твердых тел.
Задача 6. Оцените минимальную дебройлевскую длину волны свободных электронов в металле
при T=0, считая, что металл содержит по одному свободному электрону на атом, а его решетка
является простой кубической с периодом a.
Решение. Поскольку дебройлевская длина волны λБ частицы связана с ее импульсом p соотно-
              2π"
шением λ Б =      , то
               p

Страницы