Квантовая статистика Ферми-Дирака. Электронный газ. Мартинсон Л.К - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

8
ат
AA
nN N
M
ρ
=ν =
.
Такой же будет согласно условию задачи и концентрация электронов n.
В итоге получаем
2
2
3
2
0
3
2
A
F
N
E.
mM
ρ

=π


"
Подставляя численные значения, находим величину энергии Ферми меди
E
F
=1,13⋅10
-18
Дж=7,1 эВ.
Задача 3. Сколько свободных электронов приходится на атом калия, если энергия Ферми калия
E
F
=2,14 эВ? Плотность калия ρ=862 кг/м
3
.
Решение. Пусть на один атом калия приходится η свободных электронов. Тогда концентрация
свободных электронов n и концентрация атомов калия n
ат
связаны соотношением n=n
ат
η
. Вос-
пользовавшись решением предыдущей задачи, запишем
()
2
2
22
3
22
3
00
33
22
A
F
N
En
mmM
ρ

=π=πη


""
.
Выражая отсюда η, находим
3
2
0
22
2
2
F
A
mM
E
N

η=

πρ

"
.
С учетом численных значений, входящих в это выражение величин, получаем η=1,07.
Задача 4. Определить максимальную скорость v
max
электронов в металле при T=0, если энергия
Ферми для него E
F
(0)=5 эВ.
Решение. Как уже отмечалось, газ, подчиняющийся статистике Ферми – Дирака (вырожденный
газ), отличается от классического газа тем, что при абсолют ном нуле температуры движение
частиц в нем прекращается. Остановка всех частиц Ферми-газа означала бы, что в квантовом
состоянии с энергией E=0 находилось бы большое число частиц, что противоречит принципу
Паули.
Так как максимальная энергия частиц вырожденного электронного газа при T=0 равна
энергии Ферми
()
2
0max
v
0
2
F
m
E,
=
то для максимальной скорости электронов
max
υ
получаем
()
max
0
20
v
F
E
m
=
.
Подставляя численные значения, находим
v
max
=1,3⋅10
6
м/с.
Такое большое значение скорости электронов при T=0 служит еще одним подтверждением то-
го, что свойства вырожденного электронного газа существенно отличаются от свойств класси-
ческого невырожденного газа.
Задача 5. До какой температу ры нужно нагреть классический электронный газ, чтобы средняя
энергия его электронов оказалась бы равной средней энергии свободных электронов в серебре
при T=0? Энергия Ферми для серебра E
F
(0)=5,5 эВ.
Решение. Среднее значение энергии свободных электронов в металле определяется в соответ-
ствии с (8) и (9) выражением 
                                                                                            8
                                                ρ
                                     nат = νN A = NA .
                                               M
Такой же будет согласно условию задачи и концентрация электронов n.
В итоге получаем
                                                               2
                                         " 2  2 ρN A  3
                                   EF =       3π      .
                                        2m0      M 
Подставляя численные значения, находим величину энергии Ферми меди
                                 EF=1,13⋅10-18 Дж=7,1 эВ.
Задача 3. Сколько свободных электронов приходится на атом калия, если энергия Ферми калия
EF=2,14 эВ? Плотность калия ρ=862 кг/м3.
Решение. Пусть на один атом калия приходится η свободных электронов. Тогда концентрация
свободных электронов n и концентрация атомов калия nат связаны соотношением n=nатη . Вос-
пользовавшись решением предыдущей задачи, запишем
                                                                   2
                                  "2        2
                                                " 2  2 ρN A  3
                            EF =
                                 2m0
                                     (3π n ) = 2m  3π M η  .
                                        2   3

                                                   0
Выражая отсюда η, находим
                                                               3
                                            M  2m0            2
                                    η= 2            2 EF  .
                                         2π ρN A  "           
С учетом численных значений, входящих в это выражение величин, получаем η=1,07.
Задача 4. Определить максимальную скорость vmax электронов в металле при T=0, если энергия
Ферми для него EF(0)=5 эВ.
Решение. Как уже отмечалось, газ, подчиняющийся статистике Ферми – Дирака (вырожденный
газ), отличается от классического газа тем, что при абсолютном нуле температуры движение
частиц в нем прекращается. Остановка всех частиц Ферми-газа означала бы, что в квантовом
состоянии с энергией E=0 находилось бы большое число частиц, что противоречит принципу
Паули.
        Так как максимальная энергия частиц вырожденного электронного газа при T=0 равна
энергии Ферми
                                              2
                                         m0 v max
                                                  = EF ( 0 ) ,
                                            2
то для максимальной скорости электронов υmax получаем
                                                2 EF ( 0 )
                                      v max =              .
                                                   m0
Подставляя численные значения, находим
                                       vmax=1,3⋅106 м/с.
Такое большое значение скорости электронов при T=0 служит еще одним подтверждением то-
го, что свойства вырожденного электронного газа существенно отличаются от свойств класси-
ческого невырожденного газа.
Задача 5. До какой температуры нужно нагреть классический электронный газ, чтобы средняя
энергия его электронов оказалась бы равной средней энергии свободных электронов в серебре
при T=0? Энергия Ферми для серебра EF(0)=5,5 эВ.
Решение. Среднее значение энергии свободных электронов в металле определяется в соответ-
ствии с (8) и (9) выражением

Страницы