Квантовая статистика Ферми-Дирака. Электронный газ. Мартинсон Л.К - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ им. Баумана | Москва

Составители: 

Рубрика: 

6
() () ( )
ФД
FE gE n E,T.
−
=<>
(11)
Здесь
()
ФД
nE,T
−
<>
- функция распределения Ферми – Дирака (9), а g(E) – плотность кванто-
вых состояний, которая определяется выражением
()
3
1
2
0
2
23
2m
gE E,
=
π
"
(12)
где m
0
– масса частицы. Плотность квантовых состояний g(Е) определяет число квантовых со-
стояний в единице объема в единичном интервале энергий. Из (12) следует, что плотность
квантовых состояний растет с ростом энергии ферми- частиц Е пропорционально
12
E
.
Таким образом, функция распределения частиц по энергиям F(E), согласно (11), равна
произведению плотности квантовых состояний g(E) на вероятность того, что квантовое состоя-
ние с энергией Е занято частицами при температуре Т:
()
31
22
0
23
2
1
F
mE
FE .
EE
exp
kT
=
−
π

+


"
(13)
При Т=0 функция распределения Ферми – Дирака <n>
Ф-Д
является ступенчатой функцией энер-
гии Е (см. (4)), следовательно,
()
()
()
3
1
2
0
2
23
2
при 0
0 при 0
F
F
m
EEE
FE .
EE
<
=
π
>
"
(14)
В статистической физике наряду с распределением частиц по энергиям F(E) использует-
ся также распределение частиц по скоростям F(v) (или по импульсам F(p)). Соответствующие
функции распределения F(E) и F(v) связаны соотношением
() ()
ddvnFEEF .
==
Учитывая, что
2
0
v
2
m
E
=
и
0
vvdE m d ,
=
можно от функции распределения F(E) перейти к функции распределения F(v):
()
32
0
23
2
0
v
v
v2
1
2
F
m
F.
mE
exp
kT
=
π

−
+


"
(15)
При Т=0 это распределение принимает вид
()
3
2
0
max
23
max
v, v v
v
0 v v
m
F,
,
<
=
π
>
"
(16)
где v
max
максимальная скорость электронов при Т=0, определяемая выражением
()
max
0
20
v
F
E
.
m
=
4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Задача 1. Идеальный ферми- газ концентрации n состоит из частиц массы m
0
. При каких
температурах Т будут проявляться квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью
его частиц, т. е. газ будет вырожденным?
Решение. Решим эту задачу двумя способами. 
                                                                                                 6
                           F ( E ) = g ( E ) < n >Ф − Д ( E ,T ) .                      (11)
Здесь < n >Ф− Д ( E,T ) - функция распределения Ферми – Дирака (9), а g(E) – плотность кванто-
вых состояний, которая определяется выражением
                                                   3
                                         2m 2 1                                    (12)
                               g ( E ) = 2 30 E 2 ,
                                         π"
где m0 – масса частицы. Плотность квантовых состояний g(Е) определяет число квантовых со-
стояний в единице объема в единичном интервале энергий. Из (12) следует, что плотность
                                                                                   12
квантовых состояний растет с ростом энергии ферми- частиц Е пропорционально E .
       Таким образом, функция распределения частиц по энергиям F(E), согласно (11), равна
произведению плотности квантовых состояний g(E) на вероятность того, что квантовое состоя-
ние с энергией Е занято частицами при температуре Т:
                                          3            1
                                     2m   2
                                                     E 2
                           F (E) =        0
                                                                   .                    (13)
                                     π"2 3
                                                   − EF
                                                    E       
                                              exp           +1
                                                   kT      
При Т=0 функция распределения Ферми – Дирака Ф-Д является ступенчатой функцией энер-
гии Е (см. (4)), следовательно,
                                           3
                                               1
                                     2m0 E 2 при E < E ( 0 )
                                            2

                          F ( E ) =  π 2 "3                F     .                (14)
                                    
                                    0 при E > EF ( 0 )
       В статистической физике наряду с распределением частиц по энергиям F(E) использует-
ся также распределение частиц по скоростям F(v) (или по импульсам F(p)). Соответствующие
функции распределения F(E) и F(v) связаны соотношением
                                          dn = F ( E ) dE = F ( v ) .
Учитывая, что
                                              m0 v 2
                                       E=            и dE = m0 vdv ,
                                               2
можно от функции распределения F(E) перейти к функции распределения F(v):
                              m3               v2
                      F (v) = 2 0 3                          .
                             π"          m0 v 2 − 2 EF                                (15)
                                    exp                 +1
                                             2kT       
При Т=0 это распределение принимает вид
                                      m03 2
                                            v , v < v max
                           F ( v ) =  π2 "3               ,                            (16)
                                     0 ,        v > v max
                                     
где vmax максимальная скорость электронов при Т=0, определяемая выражением
                                              2 EF ( 0 )
                                      v max =            .
                                                 m0

                                4. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

       Задача 1. Идеальный ферми- газ концентрации n состоит из частиц массы m0. При каких
температурах Т будут проявляться квантовые свойства газа, обусловленные тождественностью
его частиц, т. е. газ будет вырожденным?
       Решение. Решим эту задачу двумя способами.

Страницы