Квантовая статистика Ферми-Дирака. Электронный газ. Мартинсон Л.К - 5 стр.

                                                                                              5
       Температура, ниже которой начинают проявляться квантовые свойства системы, обу-
словленные тождественностью частиц, называется температурой вырождения. Температура вы-
рождения для невзаимодействующих ферми- частиц (идеального ферми- газа) называется тем-
пературой Ферми и определяется как
                                 E (0 )     "2         2
                            TF = F
                                   k
                                         =
                                           2km0
                                                 3π2 n 3 .    (       )               (5)

Как следует из (5), температура вырождения тем больше, чем меньше масса частиц и чем боль-
ше их концентрация. Поэтому TF особенно велика у электронного газа в металлах. Действи-
тельно, масса электронов очень мала (m0=me=9,1⋅10-31 кг), а концентрация электронов в метал-
лах достаточно велика (n~1028÷1029 м -3), что приводит к значению TF ~ 104 K. Таким образом,
даже при температурах, близких к температуре плавления металла (~ 103 K), газ электронов в
металле остается вырожденным.
       Для обычных газов, состоящих из атомов или молекул, являющихся ферми- частицами,
температура вырождения близка к абсолютному нулю. Поэтому такие газы во всей области
температур вплоть до температуры сжижения обладают свойствами классического газа.

                       3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ЧАСТИЦ ПО ЭНЕРГИЯМ

      В статистической физике, изучающей свойства систем, состоящих из большого числа
частиц, важное значение имеет понятие функции распределения частиц по энергиям F(E). Обо-
значим через dn число частиц в единице объема, энергия которых заключена в бесконечно уз-
ком интервале энергий от Е до Е+dE. Тогда функция распределения частиц по энергиям опре-
деляется соотношением
                                  dn = F ( E ) dE.                                 (6)
Число частиц в единице объема, энергия которых находится в конечном интервале от Е1 до Е2,
получается интегрированием (6):
                                                   E2

                                n ( E1 ,E2 ) =     ∫ F ( E )dE.                        (7)
                                                   E1

Пусть n – концентрация частиц, т. е. полное число частиц в единице объема, тогда, согласно (7),
                                                    ∞
                                n = n ( 0, ∞ ) = ∫ F ( E )dE.
                                                    0
Если функция F(E) известна, то можно найти среднее значение любой физической величины f,
зависящей от энергии частицы Е:
                            ∞

                            ∫ f ( E )F ( E ) dE             1
                                                              ∞
                                                                                        (8)
                                                                 f ( E ) F ( E ) dE.
                                                            n ∫0
                   < f >=   0
                                ∞
                                                    =
                                ∫ F ( E ) dE
                                0
Так, например, среднее значение энергии частиц системы равно
                                       ∞
                                     1                                              (9)
                             < E >= ∫ EF ( E )dE.
                                     n0
       В классической статистике Максвелла – Больцмана, которая применяется к классиче-
скому газу, функция распределения частиц по энергиям F(E) зависит от температуры газа Т и
имеет вид
                                                       1          1    E
                            F ( E ) = 2n ( πk T         )
                                                                    −
                                               3    3 −2                               (10)
                                                              E e 2   kT
                                                                           .
      В квантовой статистике Ферми – Дирака функция распределения представляет собой
произведение двух функций: