Составители:
3
Свойство антисимметрии волновых функций системы ферми- частиц приводит к очень
важному ограничению на их состояния, известному как принцип Паули: в системе тождествен-
ных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Это оз-
начает, что если в системе фермионов какая-либо частица находится в некотором определенном
состоянии, то никакая другая частица этой системы не может находиться в этом же состоянии.
Таким образом, фермионы являются частицами- индивидуалистами.
Принцип Паули сыграл очень важную роль в обосновании периодической системы эле-
ментов Менделеева, а также в объяснении атомных и молекулярных спектров.
Что же касается бозонов, то свойство симметрии волновых функций не накладывает на
их состояния никаких ограничений. В одном и том же состоянии может находиться произволь-
ное число одинаковых бозонов, т. е. бозоны, в отличие от фермионов, являются частицами-
коллективистами.
2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ – ДИРАКА
Различие в поведении ферми- и бозе- частиц приводит к тому, что статистика свойств
квантовых систем, состоящих из одинаковых фермионов, и систем, состоящих из одинаковых
бозонов, будут существенно отличаться друг от друга.
Для фермионов закон распределения частиц по состояниям с различной энергией Е име-
ет вид
1
1
ФД
F
n.
EE
exp
kT
−
<> =
−
+
(1)
Здесь k – постоянная Больцмана, T – температура, E
F
- энергия Ферми (уровень Ферми). Функ-
ция <n>
Ф-Д
называется функцией распределения Ферми – Дирака, она определяет среднее число
частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией Е. Поскольку <n>
Ф-Д
≤
1, то говорят,
что распределение (1) определяет вероятность того, что квантовое состояние с энергией Е заня-
то частицами при температуре Т.
Энергию Ферми E
F
можно определить как энергию таких состояний, вероятность запол-
нения которых частицами равна 1/2. Действительно, из (1) следует, что
()
1
2
ФД F
nE,T.
−
<> =
Энергия Ферми системы фермионов зависит от концентрации частиц n и от температуры Т. В
общем случае эта зависимость оказывается достаточно сложной, однако при kT <<E
F
она уп-
рощается и принимает вид
()
()
2
2
01
12 0
FF
F
kT
EE .
E
π
=−
(2)
Здесь E
F
(0) – значение энергии Ферми при абсолютном нуле температуры, которое определяет-
ся выражением
()
()
2
2
2
3
0
03
2
F
En,
m
=π
"
(3)
где m
0
– масса частицы.
Мы будем, как правило, рассматривать системы, для которых E
F
(0)>>kT. При этом, со-
гласно (2), зависимостью энергии Ферми от температуры можно пренебречь и считать, что
E
F
=E
F
(0). Однако следует иметь в виду, что в некоторых физических явлениях, таких, напри-
мер, как термоэлектрические явления, слабая зависимость энергии Ферми от температуры игра-
ет определяющую роль.
На рис. 2 приведена зависимость функции распределения Ферми – Дирака от энергии Е.
При абсолютном нуле температуры (кривая 1) <n>
Ф-Д
имеет вид ступенчатой функции
3
Свойство антисимметрии волновых функций системы ферми- частиц приводит к очень
важному ограничению на их состояния, известному как принцип Паули: в системе тождествен-
ных фермионов не может быть двух частиц, находящихся в одном и том же состоянии. Это оз-
начает, что если в системе фермионов какая-либо частица находится в некотором определенном
состоянии, то никакая другая частица этой системы не может находиться в этом же состоянии.
Таким образом, фермионы являются частицами- индивидуалистами.
Принцип Паули сыграл очень важную роль в обосновании периодической системы эле-
ментов Менделеева, а также в объяснении атомных и молекулярных спектров.
Что же касается бозонов, то свойство симметрии волновых функций не накладывает на
их состояния никаких ограничений. В одном и том же состоянии может находиться произволь-
ное число одинаковых бозонов, т. е. бозоны, в отличие от фермионов, являются частицами-
коллективистами.
2. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ФЕРМИ – ДИРАКА
Различие в поведении ферми- и бозе- частиц приводит к тому, что статистика свойств
квантовых систем, состоящих из одинаковых фермионов, и систем, состоящих из одинаковых
бозонов, будут существенно отличаться друг от друга.
Для фермионов закон распределения частиц по состояниям с различной энергией Е име-
ет вид
1
< n >Ф − Д = . (1)
E − EF
exp +1
kT
Здесь k – постоянная Больцмана, T – температура, EF - энергия Ферми (уровень Ферми). Функ-
ция Ф-Д называется функцией распределения Ферми – Дирака, она определяет среднее число
частиц, находящихся в квантовом состоянии с энергией Е. Поскольку Ф-Д ≤ 1, то говорят,
что распределение (1) определяет вероятность того, что квантовое состояние с энергией Е заня-
то частицами при температуре Т.
Энергию Ферми EF можно определить как энергию таких состояний, вероятность запол-
нения которых частицами равна 1/2. Действительно, из (1) следует, что
1
< n >Ф − Д ( EF ,T ) = .
2
Энергия Ферми системы фермионов зависит от концентрации частиц n и от температуры Т. В
общем случае эта зависимость оказывается достаточно сложной, однако при kT <>kT. При этом, со-
гласно (2), зависимостью энергии Ферми от температуры можно пренебречь и считать, что
EF=EF(0). Однако следует иметь в виду, что в некоторых физических явлениях, таких, напри-
мер, как термоэлектрические явления, слабая зависимость энергии Ферми от температуры игра-
ет определяющую роль.
На рис. 2 приведена зависимость функции распределения Ферми – Дирака от энергии Е.
При абсолютном нуле температуры (кривая 1) Ф-Д имеет вид ступенчатой функции
